SYMETRIE KŘIŠŤALŮ
SYMETRIE KŘIŠŤALŮ
Vlastnost krystalů kombinovat se samy se sebou během rotací, odrazů, paralelních posunů nebo části nebo kombinace těchto operací. Symetrie znamená schopnost transformovat objekt, který jej kombinuje sám se sebou. Vnější symetrie tvar (fasetování) krystalu je určen symetrií jeho atomové struktury, která zároveň určuje symetrii fyzikální. krystalové vlastnosti.
Rýže. 1. a - krystal křemene: 3 - osa symetrie 3. řádu, 2x, 2y, 2w - osy 2. řádu; b - krystal vodného metakřemičitanu sodného: m - rovina symetrie.
Na Obr. 1 znázorňuje křemenný krystal. Ext. jeho tvar je takový, že otočením o 120° kolem osy 3 může být vyrovnán sám se sebou (kompatibilní rovnost). Krystal metakřemičitanu sodného (obr. 1, 6) se v sebe přemění odrazem v rovině symetrie m (zrcadlová rovnost).
Pokud F (xlx2.x3) je funkce, která popisuje objekt, např. tvar krystalu v trojrozměrném prostoru nebo K.-L. jeho vlastnost a operace g (x1, x2, x3) transformuje souřadnice všech bodů objektu, potom g je operace nebo transformace symetrie a F je symetrický objekt, pokud jsou splněny následující podmínky:
V nejobecnější formulaci - invariance (neměnnost) objektů a zákonů za určitých transformací proměnných, které je popisují. Krystaly jsou objekty v trojrozměrném prostoru, tedy klasické. teorie S. až. - teorie symetrické. proměny do trojrozměrného prostoru s přihlédnutím k tomu, že vnitřní. atomová struktura krystalů je trojrozměrná periodická, to znamená, že je popsána jako. Při transformacích symetrie se nedeformuje, ale přetváří se jako tuhý celek. Takové transformace se nazývají. ortogonální nebo izometrické. Poté se části předmětu, které byly na jednom místě, shodují s částmi, které jsou na jiném místě. To znamená, že v symetrickém objektu jsou stejné části (kompatibilní nebo zrcadlené).
S. to. se projevuje nejen v jejich struktuře a vlastnostech v reálném trojrozměrném prostoru, ale také v popisu energetických. spektrum elektronů krystalu (viz. PÁSKOVÁ TEORIE), při analýze procesů difrakce rtg. paprsky a elektrony v krystalech v reciprokém prostoru (viz REVERZNÍ MŘÍŽKA) atd.
Skupina symetrie krystalů. Krystal může být vlastní ne jeden, ale několik. operace symetrie. Krystal křemene (obr. 1, a) je tedy vyrovnán sám se sebou nejen při otočení o 120 ° kolem osy 3 (operace g1), ale také při otočení kolem osy 3 o 240 ° (operace g2), jakož i při otočený o 180° kolem os 2х, 2у, 2w (operace g3, g4, g5). Každý může být spojen s prvkem symetrie - přímkou, rovinou nebo bodem, vůči kterému se tato operace provádí. Například osa 3 nebo osy 2x, 2y, 2w jsou osy symetrie, rovina m (obr. 1.6) je rovina zrcadlové souměrnosti atd. Soubor operací symetrie (g1, g2,..., Gn ) daného krystalu tvoří skupinu symetrie G ve smyslu mat. teorie skupin. Následoval. provádění dvou operací symetrie je také operace symetrie. Vždy existuje operace identity g0, která v krystalu nic nemění, tzv. identifikace, geometricky odpovídající nehybnosti předmětu nebo jeho otočení o 360° kolem libovolné osy. Zavolá se počet operací tvořících skupinu G. skupinová objednávka.
Skupiny symetrie jsou klasifikovány: počtem n rozměrů prostoru, ve kterém jsou definovány; počtem m rozměrů prostoru, ve kterém je objekt periodický (označují se příslušně Gnm), a některými dalšími znaky. K popisu krystalů použijte dekomp. skupiny symetrie, z nichž nejdůležitější jsou. G33, popisující atomovou strukturu krystalů, a bodové skupiny s m metr a G30, popisující jejich vnější tvar. Poslední jmenovaný také krystalografické třídy.
Skupiny bodové symetrie. Operace bodové symetrie jsou: rotace kolem osy symetrie řádu N o úhel rovný 360°/N (obr. 2, a), odraz v rovině symetrie (; obr. 2, b), inverze T (symetrie kolem bodu; obr. 2, c), inverzní otáčky N = (kombinace rotace o úhel 360°/N se současnou inverzí; obr. 2, d).
Rýže. 2. Nejjednodušší operace symetrie: a - rotace; b - odraz; в - inverze; d - inverzní rotace 4. řádu; d - spirálový obrat 4. řádu; e - posuvný odraz.
Místo inverzních obratů se někdy uvažují zrcadlové otáčky N =. Geometricky možné kombinace těchto operací určují jednu nebo druhou skupinu bodové symetrie, která je obvykle znázorněna stereograficky. projekce. Při transformacích bodové symetrie zůstává alespoň jeden bod objektu nehybný – transformuje se do sebe. Protínají se v něm všechny symetrie a je středem stereografie. projekce. Příklady krystalů souvisejících s rozkladem. bodové skupiny jsou uvedeny na Obr. 3.
Rýže. 3. Příklady krystalů náležejících do různých bodových skupin (krystalografické třídy): o - do třídy m (jedna rovina symetrie); b - do třídy c (střed symetrie); c - do třídy 2 (jedna osa symetrie 2. řádu); d - do třídy 6 (jedna inverzně-rotační osa 6. řádu).
Transformace bodové symetrie g (x1, x2, x3) = x "1, x" 2, x "3 jsou popsány lineárními rovnicemi:
tj. maticovým koefem, (aij). Například při otáčení kolem osy x1 pod úhlem a = 360° / N koef. vypadá jako:
a když se odráží v rovině x1, x2, má tvar:
Počet skupin bodů Go je nekonečný. Nicméně v krystalech kvůli přítomnosti krystalů. mřížky jsou pouze možné operace a podle toho i osa symetrie do 6. řádu (kromě 5.; v krystalové mřížce nemůže být žádná osa symetrie 5. řádu, protože pětiúhelníky nelze vyplnit bez mezer), což jsou označeny symboly: 1, 2, 3, 4, 6, stejně jako inverzní osy 1 (je to střed symetrie), 2 (je to rovina symetrie), 3, 4, 6. Proto počet bodové krystalografické. skupiny symetrie popisující ext. tvar krystalů je omezený, je jich pouze 32 (viz tabulka). V mezinárodním Zápis pro skupiny bodů zahrnuje symboly operací symetrie, které je generují. Tyto skupiny se spojují podle symetrie tvaru jednotkové buňky (s periodami o, b, c a úhly a, b, g) do 7 syngonií.
Skupiny obsahující pouze otáčky jsou popsány jako složené pouze z kompatibilních stejných částí (skupiny 1. druhu). Skupiny obsahující odrazy nebo inverzní rotace popisují krystaly, ve kterých jsou zrcadlové části (skupiny druhého druhu). Krystaly popsané skupinami 1. druhu mohou krystalizovat ve dvou enantiomorfních formách („pravá“ a „levá“, z nichž každá neobsahuje prvky symetrie 2. druhu), ale vzájemně zrcadlově podobné (viz ENANTIOMORFISMUS).
Bodové grupy popisují symetrii nejen krystalů, ale jakýchkoli konečných obrazců. V živé přírodě je často pozorována krystalograficky zakázaná symetrie s osami 5., 7. řádu a vyšších. Například popsat pravidelnou strukturu sférického. viry, v jejichž obalech jsou dodržovány principy hustého balení molekul, se jako důležitý ukázal ikosaedrický 532 (viz BIOLOGICKÉ KRYSTALY).
Limitní skupiny. Funkce, které popisují dekomprimaci závislosti. vlastnosti krystalu ze směru, mají určitou bodovou symetrii, jednoznačně spojenou se skupinou symetrie fasetování krystalu. Buď se s ním shoduje, nebo je v symetrii vyšší než ona (Neumannův princip).
Mnoho vlastností krystalů patřících do určitých skupin bodové symetrie popisuje tzv. KRYSTALOFYZIKA).
Prostorová symetrie atomové struktury krystalů je popsána mezerami. skupiny symetrie G33 (nazývané také Fedorov na počest E.S. Fjodorova, který je našel v roce 1890). Operace charakteristické pro mřížku jsou tři nekoplanární a, b, c, tzv. překlady, to-žito nastavuje trojrozměrnou periodicitu atomové struktury krystalů. Posun (přenos) struktury do vektorů a, b, c nebo libovolného vektoru t = p1a + p2b + p3c, kde p1, p2, p3 jsou jakákoli kladná nebo záporná celá čísla, kombinuje krystalovou strukturu se sebou samým, a proto je operace symetrie (translační symetrie).
Vzhledem k možnosti kombinace translace v mřížce a operací bodové symetrie se ve skupinách G33 objevují operace a jim odpovídající prvky symetrie s translacemi. součást - šroubové nápravy roz. řády a rovina odrazu pastvy (obr. 2, e, f). Celkem je známo 230 míst. skupiny symetrie G33, jakýkoli krystal patří do jedné z těchto skupin. Překladatel. prvky mikrosymetrie se například makroskopicky neobjevují. spirálová osa při fasetování krystalu se jeví jako jednoduchá rotační osa odpovídající v pořadí. Proto je každá z 230 skupin G33 makroskopicky podobná (homomorfní) jedné z 32 bodových skupin. Například 28 prostorů je homomorfně mapováno na skupinu bodů mmm. skupiny. Soubor překladů vlastní dané prostorové skupině je její translační podgrupa nebo Bravaisova mřížka; takových mříží je 14.
Symetrie vrstev a řetězců. K popisu objektů, které jsou periodické v 1 nebo 2 směrech, zejména fragmentů krystalové struktury, lze použít skupiny G32 - dvourozměrné periodické m G31 - jednorozměrné periodické v trojrozměrném prostoru. Tyto skupiny hrají důležitou roli při studiu biol. struktur a molekul. Například skupiny G | popsat strukturu biol. membrány, skupiny molekul G31-řetězce (obr. 5, a) tyčinkovitých virů, tubulární krystaly globulárních proteinů (obr. 5, b), ve kterých jsou uloženy podle spirální (šroubové) symetrie možné v skupiny G31 (viz BIOLOGICKÉ KRYSTALY ).
Rýže. 5. Objekty se spirální symetrií: a - DNA; b - tubulární krystal proteinu fosforylázy (snímek z elektronového mikroskopu, zvětšení 220 000).
Generalizovaná symetrie. Definice symetrie je založena na konceptu rovnosti (1, b) při transformaci (1, a). Fyzicky (a matematicky) se však objekt může v některých charakteristikách rovnat sobě samému a v jiných se nerovnat. Například jádra a elektrony v antiferomagnetickém krystalu lze popsat pomocí obyčejných prostorů. symetrie, ale vezmeme-li v úvahu magn. momenty (obr. 6), pak obvyklé „, klasické. symetrie už nestačí. Mezi taková zobecnění symetrie patří antisymetrie a. V antisymetrii kromě tří mezer. proměnné x1, x2, x3 se zavádí další 4. proměnná x4 = ± 1. To lze interpretovat tak, že při transformaci (1, a) může být funkce F nejen rovna sama sobě, jako v (1, b), ale také "antirovná" - změnit znaménko. Obvykle lze takovou operaci znázornit změnou barvy (obr. 7).
Rýže. 6. Rozložení magnetických momentů (šipky) v základní buňce ferimagnetického krystalu, popsané pomocí zobecněné symetrie.
Existuje 58 skupin bodové antisymetrie C30 a 1651 prostorů. antisymetrie G33, a (Sh u b nik o v s k a x g r u p n). Pokud dodatečná proměnná nabývá ne dvou hodnot, ale několika. (jsou možná čísla 3, 4, 6, 8,..., 48), pak vzniká Belovova barevná symetrie. Existuje tedy 81 známých skupin bodů G30, c a 2942 skupin C33, c. Hlavní aplikace zobecněné symetrie v krystalografii jsou popis magn. struktur.
Rýže. 7. Obrazec popsaný bodovou antisymetrickou grupou.
Dr. zobecnění symetrie: symetrie podobnosti, kdy je rovnost částí obrazce nahrazena jejich podobností (obr. 8), křivočará symetrie, statistická. symetrie zavedená při popisu struktury neuspořádaných krystalů, pevných roztoků, tekutých krystalů atd.
Fyzický encyklopedický slovník. - M .: Sovětská encyklopedie. Hlavní editor A.M. Prochorov. 1983 .
SYMETRIE KŘIŠŤALŮ
Vlastnost krystalů kombinovat se samy se sebou během rotací, odrazů, paralelních posunů nebo během části nebo kombinace těchto operací. Vnější symetrie tvar (fasetování) krystalu je určen symetrií jeho atomové struktury, která zároveň určuje symetrii fyzikální. vlastnosti krystalu. 
Rýže. 1. a - krystal křemene; 3 - osa symetrie 3. řádu, - osy 2. řádu; b - krystal vodného metakřemičitanu sodného; m - rovina symetrie.
Na Obr. jeden A zobrazuje krystal křemene. Ext. její tvar je následující, b) se v sebe přemění odrazem v rovině symetrie m (zrcadlová rovnost). Li 
- funkce, která popisuje objekt, např. tvar krystalu v trojrozměrném prostoru nebo K.-L. jeho vlastnost a operace pak transformuje souřadnice všech bodů objektu G je operace nebo transformace symetrie a F je symetrický objekt, 
V naíb. V obecné formulaci je symetrie invariance (neměnnost) objektů a zákonů za určitých transformací proměnných, které je popisují. S. to. Projevuje se nejen ve své struktuře a vlastnostech v reálném trojrozměrném prostoru, ale také v popisu energetického. spektrum elektronů krystalu (viz. zónová teorie), v procesní analýze Rentgenová difrakce, difrakce neutronů a elektronová difrakce v krystalech pomocí reciprokého prostoru (viz. Reciproční mřížka) to. P.
Skupiny symetrie krystalů. Krystal může mít více než jeden, anesc. operace symetrie. Takže krystal křemene (obr. 1, A) se sám se sebou vyrovná nejen při otočení o 120° kolem osy 3 (úkon gi), ale při otáčení kolem osy 3 o 240° (provoz g 2), & také při otáčení o 180° kolem náprav 2 X, 2 roky, 2 W(operace g 3, g 4, g 5 Každá operace symetrie může být spojena s prvkem symetrie - přímka, 3 nebo osy 2 x, 2 roky, 2 w jsou osy symetrie, rovina T(obr. 1, b) - rovinou zrcadlové symetrie atd. Soubor operací symetrie (g 1, g 2, ..., g n) tento krystal tvoří skupinu symetrie ve smyslu mat. teorie skupiny. Následoval. provádění dvou operací symetrie je také operace symetrie. V teorii grup se to označuje jako produkt operací: Vždy existuje operace identity g 0, nic neměnného v krystalu, tzv. identifikace, geometricky odpovídá nehybnosti předmětu nebo jeho otočení o 360° kolem libovolné osy. Zavolá se počet operací tvořících skupinu G skupinová objednávka.
Skupiny symetrie transformací prostoru jsou klasifikovány: podle počtu . měření prostoru, ve kterém jsou definovány; podle čísla . měření prostoru, ve kterých je objekt periodický (jsou příslušně označeny), a podle některých dalších znaků. K popisu krystalů se používají různé skupiny symetrie, z nichž nejdůležitější jsou ty, které popisují externě. krystalový tvar; se nazývají. také krystalografické. třídy, skupiny prostorové symetrie, které popisují atomovou strukturu krystalů.
Skupiny bodové symetrie. Operace bodové symetrie jsou: rotace kolem osy symetrie řádu N o úhel rovný 360°/N(obr. 2, a); odraz v rovině symetrie T(zrcadlový odraz, b); inverze (symetrie kolem bodu, obr. 2, c); inverzní otáčky (kombinace natočení o úhel 360 ° / N s ve stejnou dobu. inverze, obr. 2, d). Místo inverzních rotací jsou někdy uvažovány ekvivalentní zrcadlové rotace Geometricky možné kombinace operací bodové symetrie určují nebo jinou skupinu bodové symetrie, která je obvykle znázorněna stereograficky. 
Rýže. 2. Příklady operací symetrie: a - rotace; b - odraz; в - inverze; d - inverzní rotace 4. řádu; d - spirálový obrat 4. řádu; e - posuvný odraz.
Rýže. 3. Příklady krystalů patřících do různých bodových skupin (krystalografické třídy): a - do třídy m (jedna rovina symetrie), b - do třídy (střed symetrie nebo střed inverze); a - do třídy 2 (jedna osa symetrie 2. řádu); d - do třídy (jedna inverzně-rotační osa 6. řádu).
Bodové symetrické transformace 
jsou popsány lineárními rovnicemi 
nebo matice koeficientů 
Například při otáčení kolem osy x 1úhel - = 360° / N matrice D vypadá jako: 
a při odrazu v rovině x 1 x 2 D má tvar: 
Počet skupin bodů je nekonečný. Nicméně, v krystalech, kvůli přítomnosti krystal. mřížky jsou možné pouze operace a tedy osa symetrie do 6. řádu (kromě 5.; v krystalické mřížce nemůže být žádná osa symetrie 5. řádu, protože pomocí pětiúhelníkových obrazců nelze vyplnit prostor bez mezer).Operace bodové souměrnosti a příslušné prvky symetrie jsou označeny symboly: osy 1, 2, 3, 4, 6, inverzní osy (střed symetrie nebo střed inverze), (je to rovina symetrie m ), (obr. 4). 
Rýže. 4. Grafické označení prvků bodové souměrnosti: a - kružnice - střed souměrnosti, osy souměrnosti kolmé k rovině výkresu b - osa 2 rovnoběžná s rovinou výkresu; c - osy symetrie, rovnoběžné nebo šikmé k rovině výkresu; g - rovina souměrnosti, kolmá k rovině výkresu; d - roviny symetrie, rovnoběžné s rovinou výkresu.
K popisu skupiny bodové symetrie stačí zadat jednu nebo několik. B, c a úhly) do 7 systémů (tabulka 1).
Skupiny obsahující kromě kap. sekery N rovina symetrie T, označený jako N / m, já pro Nm, leží-li osa v rovině T. Pokud může skupina pomoci osa má několik. roviny symetrie jím procházející, pak se označí Nmm
Tab. jeden.- Bodové grupy (třídy) krystalové symetrie
S. skupiny do. Noste geom. význam: každé z operací odpovídá např. rotace kolem osy symetrie, odraz v rovině. v dané skupině (ale ne jejich geom. význam), se ukážou být stejné, nebo navzájem izomorfní. Jsou to například skupiny 4 a tt2, 222. Celkem existuje 18 abstraktních skupin izomorfních k jedné nebo více z 32 bodových skupin C. to.
Bodové grupy popisují symetrii nejen krystalů, ale jakýchkoli konečných tvarů. V živé přírodě je často pozorována bodová symetrie s osami 5., 7. řádu a vyšší, v krystalografii zakázaná. Popsat pravidelnou sférickou strukturu. viry, v obalech to-ryh se dodržují principy hustého balení molekul a nek-ry anorganické. Bylo zjištěno, že molekuly jsou důležité ikosaedrické. (cm. Biologický krystal). Ikosahedrální. symetrie je také pozorována v kvazikrystaly.
Limitní skupiny. F-tiony, to-žito popisují závislost různých vlastností krystalu na směru, mají určitou bodovou symetrii, jednoznačně spojenou se skupinou symetrie okraje krystalu. Buď se s ním shoduje, nebo je vyšší než ona v symetrii ( Neumannův princip).
S ohledem na makroskopické. vlastnosti krystalů lze popsat jako homogenní spojité prostředí. Proto jsou mnohé vlastnosti krystalů patřících do té či oné skupiny bodové symetrie popsány t.zv. omezující bodové skupiny obsahující osy symetrie nekonečného řádu, označené symbolem Přítomnost osy znamená, že objekt je kombinován sám se sebou při otočení k jakémukoli, včetně krystalové fyziky). 
Rýže. 5. Stereografické projekce 32 krystalografických a 2 ikosaedrických skupin. Skupiny jsou uspořádány do sloupců podle rodin, jejichž symboly jsou uvedeny v horním řádku. Spodní řádek ukazuje limitní skupinu každé rodiny a ukazuje čísla znázorňující limitní skupinu.
Skupiny prostorové symetrie. Prostorová symetrie atomové struktury krystalů je popsána skupinami prostorové symetrie. Se nazývají. také Fedorov na počest E.S.Fjodorova, který je našel v roce 1890. Tyto skupiny byly nezávisle odvozeny ve stejném roce A. Schoenfliesem.Na rozdíl od bodových skupin, které byly získány jako zobecnění vzorů krystalických forem. mnohostěny (S.I. Gessel, 1830, A. Operace charakteristické pro atomovou strukturu krystalů jsou 3 nekoplanární translace a, b , S , to-žito a nastavit trojrozměrnou periodicitu krystalicky. mřížka. Crystallich. mřížka je považována za nekonečnou ve všech třech dimenzích. Taková podložka. real, a, b, c nebo jakýkoli vektor kde p 1, p 2, p 3 - libovolná celá čísla, Phys. diskrétnost krystalická. látka je vyjádřena ve své atomové struktuře. jsou skupiny transformace do sebe trojrozměrného homogenního diskrétního prostoru. Diskrétnost spočívá v tom, že ne všechny body takového prostoru jsou například navzájem symetricky rovné. jeden a další druh atomů, jader a elektronů. Podmínky homogenity a diskrétnosti jsou určeny skutečností, že prostorové grupy jsou trojrozměrné periodické, tj. každá skupina obsahuje translační podgrupu. T- krystalický. mřížka.
Díky možnosti kombinovat translace v mřížce a operace bodové symetrie ve skupinách se vedle operací bodové symetrie objevují operace a jim odpovídající prvky symetrie s translacemi. složka - spirálové osy různých řádů a rovina odrazu pastvy (obr. 2, e, f).
V souladu s bodovou symetrií tvaru základní buňky (jednotného rovnoběžnostěnu) jsou prostorové skupiny, stejně jako bodové skupiny, rozděleny do 7 krystalografických syngonie(Tabulka 2). Jejich další členění odpovídá překladateli. skupiny a jejich příslušné Lež k mřížím. Existuje 14 Bravaisových mříží, z nichž 7 je primitivních mřížek odpovídajícího systému P (kromě romboedr. R). Ostatní jsou 7 na střed. A (obličej je vycentrován bc), B(okraj ac), C (ab); střed na tělo já, střed na obličej (na všechny 3 tváře) F. S přihlédnutím k centrování pro provoz vysílání t jsou přidány středící převody odpovídající středisku t c. Pokud tyto operace zkombinujete mezi sebou t+ t s a operacemi bodových grup příslušného systému pak získáme 73 prostorových grup, tzv symetrický.
Tab. 2.-Grupy symetrie prostoru
Na základě určitých pravidel lze ze symetrických prostorových grup extrahovat netriviální podskupiny, což dává 157 dalších nesymetrických prostorových grup. Prostorových skupin je celkem 230. Operace symetrie pro transformaci bodů X v symetricky rovném (a tedy i celému prostoru v sobě) jsou zapsány ve tvaru:, kde D - bodové transformace, - součásti šroubového převodu nebo posuvu odrazy, - operace překladatel. skupina Brave. Operace šroubové symetrie a odpovídající prvky symetrie - šroubové osy mají ang. komponent 
(N = 2, 3, 4, 6) a translační t s = tq / N, kde t- mřížkové vysílání, zapněte
dochází současně s translací podél osy W, q -šroubový index. Obecná značka pro šroubové osy N q(obr. 6). Osy šroubů směřují podél Ch. osy nebo úhlopříčky základní buňky. Osy 3 1 a 3 2, 4 1 a 4 3, 6 1 a 6 5, 6 2 a 6 4 odpovídají ve dvojicích pravým a levým otáčkám šroubu. Kromě fungování zrcadlové symetrie v prostorových skupinách, pastevní odrazové roviny a, Před naším letopočtem: odraz je kombinován s posunem o polovinu odpovídající periody mřížky. Polodiagonální translace čela buňky odpovídá m. n. skluzný klín n navíc v čtyřúhelníkovém a kubickém. d. 
Rýže. 6. a - Grafické označení os šroubů kolmých k rovině obr.; b - osa šroubu ležící v rovině obr.; c - roviny odrazu pastvy, kolmé k rovině obrázku, kde a, b, c jsou periody elementární buňky, po jejichž osách dochází ke skluzu (translační složka a / 2), n je diagonální rovina odraz od pastvy [translační složka (a + b) / 2], d - diamantová kluzná rovina; d - totéž v rovině obrázku.
Stůl 2 jsou mezinárodní symboly všech 230 prostorových skupin uvedeny v souladu s jejich příslušností k jednomu ze 7 systémů a třídou bodové symetrie.
Překladatel. složky operací mikrosymetrie prostorových grup se makroskopicky v bodových grupách neobjevují; Například osa šroubu při fasetování krystalu se jeví jako odpovídající jednoduchá rotační osa v pořadí. Proto je každá z 230 skupin makroskopicky podobná (homomorfní) jedné z 32 bodových skupin. Například v bodové skupině - mmm 28 prostorových grup je mapováno homomorfně.
Schoenflisův zápis prostorových grup je označení odpovídající bodové skupiny (např. Tabulka 1), ke které je shora přiřazováno historicky přijaté. V mezinárodních označeních je uveden symbol Bravaisovy mřížky a generující operace symetrie každé skupiny atd. Posloupnost uspořádání prostorových grup v tabulce 2 v mezinárodních označeních odpovídá číslu (hornímu indexu) v označení Schoenflis. .
Na Obr. 7 ukazuje obrázek prostorů. skupiny - Rpta podle International crystallographic. tabulky. Operace (a jim odpovídající prvky) symetrie každé prostorové grupy, 
Rýže. 7. Obrázek skupiny -Rpta v mezinárodních tabulkách.
Pokud nastavíte uvnitř elementární buňky K.-N. směřovat x (x 1 x 2 x 3), pak ji operace symetrie transformují na body symetricky stejné v celém krystalu. prostor; takové body jsou nekonečné. Stačí ale popsat jejich polohu v jedné elementární buňce a tento agregát se již znásobí překlady mřížky. Množina bodů odvozených z dané operace g i skupina G - x 1, x 2, ..., x n-1, volala. správný systém bodů (PST).Na obr. 7 je vpravo uvedeno uspořádání prvků symetrie skupiny, vlevo obrázek PST v obecné poloze této skupiny. Obecné polohové body jsou takové body, které se nenacházejí na prvku bodové symetrie prostorové grupy. Počet (násobek) takových bodů je roven pořadí skupiny. y = 1/4 a 3/4. Padne-li bod na rovinu, pak není touto rovinou zdvojen, jako je tomu u bodů v obecné poloze.Každá prostorová skupina má své vlastní sady PST. Pro každou skupinu existuje pouze jeden správný systém bodů na obecné pozici. Některé z PST konkrétní pozice se však mohou ukázat jako stejné pro různé skupiny. V mezinárodních tabulkách je uveden počet PST, jejich symetrie a souřadnice a všechny další charakteristiky každé prostorové skupiny. Důležitost konceptu PST je v jakémkoli krystalickém. struktura patřící do dané vesmírné skupiny,
Podgrupy grup krystalové symetrie. Pokud je součástí operace K.-L. sama tvoří skupinu G r (g 1, ..., g m) ,, pak se nazývá ten druhý. nejprve podskupina. Například podskupiny bodové skupiny 32 (obr. 1, a) jsou skupinou 3 a skupina 2. Také uprostřed prostoru. skupin existuje hierarchie podskupin. Prostorové skupiny mohou mít jako podskupiny bodové skupiny (takových prostorových skupin je 217) a podskupiny, které jsou prostorovými skupinami nižšího řádu. Podle toho existuje hierarchie podskupin.
Většina skupin prostorové symetrie krystalů se liší mezi sebou a jako abstraktní skupiny; počet abstraktních grup izomorfních vůči 230prostorovým grupám je 219. 11 zrcadlově rovných (enantiomorfních) prostorových grup se ukazuje být abstraktně rovných - jedna má pouze pravou a druhá levou šroubovou osu. Takovými jsou např. P 3 1 21 a P 3 2 21 Obě tyto prostorové grupy jsou homomorfně mapovány na bodovou grupu32, do které patří, ale křemen je pravý nebo levý: symetrie prostorové struktury je v tomto případě vyjádřena makroskopicky, Role krystalových prostorových symetrických grup. Prostorová symetrie grup krystalů - základ teor. krystalografie, difrakce a další metody pro určování atomové struktury krystalů a popis krystalických. Rentgenový difrakční obrazec neutronová difrakce nebo elektronografie, umožňuje nastavit symetrické a geom. reciproční mřížka krystalu, a tedy i samotná struktura krystalu. Takto je definována bodová skupina krystalu a základní buňka; charakteristickými extinkcemi (absence určitých difrakčních odrazů) určují typ Bravaisovy mřížky a její příslušnost k té či oné prostorové skupině. Uspořádání atomů v základní buňce se zjistí ze souboru intenzit difrakčních odrazů.
Vesmírné skupiny hrají důležitou roli krystalová chemie. Definováno více než 100 tisíc krystalických. struktury anorganické., organické. a biologické. spojení. РСС2, P4 2 cm, P4nc 1, Р6тп. Teorie, která vysvětluje převahu technologie jiných vesmírných skupin, bere v úvahu velikosti jednotlivých atomů struktury, koncept těsného sbalení atomů nebo molekul, roli „balení“ prvků symetrie – skluzové roviny a šroubové osy.
Ve fyzice pevných látek se využívá teorie grupových reprezentací pomocí matic a speciálů. f-tions, pro prostorové grupy jsou tyto funkce periodické. strukturní fázové přechody druhého druhu, prostorová grupa symetrie méně symetrické (nízkoteplotní) fáze je podskupinou prostorové grupy symetričtější fáze a fázový přechod je spojen s jednou z neredukovatelných reprezentací prostorová grupa vysoce symetrické fáze. Teorie reprezentace také umožňuje řešit problémy dynamiky krystalová mřížka, její elektronické a magn. struktur, řada fyz. vlastnosti. V teoretickém. Symetrie projekcí, vrstev a sítí. Krystalické projekce strukturní rovina je popsána rovinnými skupinami, jejich počet je 17. K popisu trojrozměrných objektů, které jsou periodické v 1 nebo 2 směrech, zejména fragmentů struktury krystalů, skupin lze použít - dvourozměrné periodické a - jednorozměrné periodické. Tyto skupiny hrají důležitou roli ve studiu biologie. popsat strukturu biologických. membrány, skupiny -řetězcových molekul (obr. 8, A), tyčinkovité viry, tubulární krystaly globulárních proteinů (obr. 8, b), ve kterých jsou naskládány podle spirálové (šroubové) symetrie, možné ve skupinách (viz. Biologický krystal).
Rýže. 8. Objekty se spirální symetrií: a - molekula DNA; b - tubulární krystal proteinu fosforylázy (snímek z elektronového mikroskopu, zvětšení 220 000).
Kvazikrystalická struktura.Kvazikrystal(například A1 86 Mn 14) mají ikosaedrické. bodová symetrie (obr. 5), hrana je u krystalu nemožná. Generalizovaná symetrie. Definice symetrie je založena na konceptu rovnosti (1, b) při transformaci (1, a). Fyzicky (a matematicky) se však objekt může v některých charakteristikách rovnat sobě samému a v jiných se nerovnat. Například rozložení jader a elektronů v krystalu antiferomagnet lze popsat pomocí obvyklé prostorové symetrie, ale vezmeme-li v úvahu rozložení magn. momenty (obr. 9), pak „obvyklé“, klasické. symetrie už nestačí. 
Rýže. 9. Rozložení magnetických momentů (šipky) v elementární buňce ferimagnetického krystalu, popsané pomocí zobecněné symetrie.
V antisymetrii kromě tří prostorových proměnných x 1, x 2, x 3 je zavedena další, 4. proměnná. To lze interpretovat tak, že při transformaci (1, a) funkce F může být nejen sobě rovný, jako v (1, b), ale také "antirovný" - změní své znaménko. Existuje 58 bodových antisymetrických grup a 1651 antisymetrických prostorových grup (Schubnkovovy grupy).
Pokud doplňková proměnná nezíská dvě hodnoty, ale více (možné 3,4,6,8, ..., 48), pak je tu tzv. Belovova barevná symetrie.
Je tedy známo 81 bodových skupin a 2942 skupin. Hlavní aplikace zobecněné symetrie v krystalografii - popis magn. Byly také nalezeny další antisymetrické skupiny (vícenásobné atd.). Všechny bodové a prostorové grupy čtyřrozměrného prostoru a vyšších dimenzí jsou teoreticky odvozeny. Na základě uvažování o symetrii (3 + K) -rozměrného prostoru lze také popsat modulátory nesouměřitelné ve třech směrech. nevhodná struktura).
Dr. zobecnění symetrie - symetrie podobnosti, kdy je rovnost částí obrazce nahrazena jejich podobností (obr. 10), křivočará symetrie, statistická. pevné roztoky, tekuté krystaly atd. 
Rýže. 10. Obrazec s podobnostní symetrií. Velký encyklopedický slovník
Zákonitost atomové struktury, vnější formy a fyzikálních vlastností krystalů, která spočívá v tom, že krystal může být kombinován sám se sebou pomocí rotací, odrazů, paralelních přenosů (translace) a dalších transformací symetrie ... encyklopedický slovník
Vlastnost krystalů kombinovat se samy se sebou v různých polohách pomocí rotací, odrazů, paralelních přenosů nebo části nebo kombinace těchto operací. Symetrie vnějšího tvaru (fasetování) krystalu je určena symetrií jeho atomu ... ...
Pravidelnost atomové struktury, ext. formy a fyzické. vlastností krystalů, která spočívá v tom, že krystal lze kombinovat sám se sebou pomocí rotací, odrazů, paralelních přenosů (translací) a dalších transformací symetrie, jakož i ... ... Přírodní věda. encyklopedický slovník
Krystalová symetrie- vlastnost krystalů kombinovat se samy se sebou rotací, odrazem, paralelním přenosem nebo kombinací těchto operací. Symetrie vnějšího tvaru (řezu) je určena symetrií jeho atomové struktury, která také určuje ... Encyklopedický slovník hutnictví
Symetrie (z řeckého symetria - proporcionalita) v matematice, 1) symetrie (v užším slova smyslu), nebo odraz (zrcadlení) vzhledem k rovině a v prostoru (vzhledem k přímce a na rovině), je transformací prostor (rovina), když ... ... Velká sovětská encyklopedie
Charakter molekuly, určený množinou možných operací bodové symetrie pro její rovnovážnou konfiguraci. Čtyři operace bodové symetrie (otočení kolem osy o určitý úhel menší nebo rovný 360°; odraz od roviny; inverze ... ... Fyzická encyklopedie
I Symetrie (z řeckého symetria proporcionalita) v matematice, 1) symetrie (v užším smyslu) nebo odraz (zrcadlení) vzhledem k rovině α v prostoru (vzhledem k přímce a na rovině), transformace prostoru . ... ... Velká sovětská encyklopedie
- (z řec. proporcionalita), pojem, který charakterizuje přechod předmětů do sebe nebo do sebe při uplatňování definice nad nimi. přeměny (S. přeměny); v širokém smyslu vlastnost neměnnosti (neměnnosti) některých ... ... Filosofická encyklopedie
- (z řec. symetria úměrnost) fyzikálních zákonů. Jsou-li zákony stanovující vztah mezi veličinami charakterizujícími fyzikální. systém, nebo určování změny těchto hodnot v čase, se při určitých operacích nemění ... ... Fyzická encyklopedie, E.S. Fedorov. Publikace zahrnuje klasická díla Evgrafa Stepanoviče Fedorova o krystalografii. Největším úspěchem E.S.Fjodorova je rigorózní odvození všech možných vesmírných skupin (1891). Že ...
Celá škála krystalů je redukována na následujících sedm hlavních krystalografických systémů neboli syngonie.
Syngonia- podobnost (podobnost úhlů).
První systém: - kubický
Uzly mřížky vytvářejí krychli se stejnými parametry mřížky a = b = c a úhly a = b = g = 90°
Obrázek 14. Krychlová buňka.
V této mřížce krystalizují všechny krystaly n-tých vodičů (Si, Ge, GaAs, Cu), alkalicko-galoidní krystaly (LiF, NaCl, KCl).
Krystaly s kubickou mřížkou patří do nejvyšší kategorie symetrie. V těchto krystalech je slabě vyjádřena anizotropie vlastností v různých směrech. Mnoho fyzikální vlastnosti v těchto krystalech jsou izotropní: tepelná vodivost, elektrická vodivost,
index lomu je ve všech směrech stejný.
Vnější tvar těchto krystalů je zpravidla izometrický, tzn. se vyvíjely přibližně stejně ve všech směrech. Krystaly mají tvar krychle (6 ploch), osmistěnu (8 ploch). V těchto krystalech je anizotropie takových vlastností, jako je elasticita a elektrooptický efekt, mnohem méně rozvinutá než u krystalů jiných kategorií.
Krystalografické kategorie, systémy a systémy souřadnic.
Roviny symetrie, osy souměrnosti a středy symetrie se tvoří v krystalech v různých kombinacích. Například: krystaly s kubickou mřížkou (polovodiče a alkalicko-haloidní krystaly) mají stejnou sadu prvků symetrie: roviny symetrie m (P) - 9, 3 osy čtvrtého řádu 4 (L 4), 4 osy v. třetího řádu 3 (L 3), 6 os druhého řádu 2 (L2) a jeden střed symetrie (C), neexistují žádné jednotkové směry.
Kategorie symetrie: jsou tři z nich vyšší, střední a nižší. K tomuto rozdělení do kategorií dochází podle symetrie a počtu jednotkových směrů krystalu. Pro krystaly nejvyšší kategorie je charakteristická symetrie krychle nebo osmistěnu. (Viz krychlová mřížka)
Tetragonální - hlavní osa symetrie 4 nebo; a = b ≠ c, a = b = g = 90°
Základní buňkou je hranol se čtvercovou základnou.
Obrázek 15. Tetragonální článek.
Tetragonální systém zahrnuje krystaly KDP a ADP (umělé)
(dihydrogenfosforečnan draselný a dihydrogenfosforečnan amonný), selait MgF 2.
Trigonální - hlavní osa symetrie je 3 nebo; a = b ≠ c a = b = 90°, g = 120°
Obrázek 16. Trigonální buňka.
Tvar jednotkové buňky je hranol s kosočtvercovou základnou s úhlem 120°
Trigonální systém zahrnuje krystaly kalcitu CaCO 3 (přírodního i umělého), křemene (a-SiO 2), niobátu lithného a tantalátu (LiNbO 3 a LiTaO 3).
Hexagonální - hlavní osa symetrie 6 popř
a = b ≠ c a = b = 90°, g = 120°
Obrázek 17. Šestihranná buňka.
Základní buňkou je hranol s kosočtvercovou základnou s úhly 120°. Tři takové hranoly tvoří šestiboký hranol, již ne primitivní šestihrannou buňku. Šestihranný systém zahrnuje krystaly křemene (b-křemen).
kosočtverečné- tři osy 2 a tři roviny m symetrie a ≠ b ≠ c, a = b = g = 90°
Obrázek 18. Kosočtverečná buňka.
Krystalická síra patří do rombického systému.
Monoklinika- osa 2 nebo rovina m symetrie, a ≠ b ≠ c, a = b = g = 90°
Vzhled krystalů získaných různými metodami, například vyrostlých z taveniny nebo roztoku, se může navzájem výrazně lišit. Současně bylo jedním z prvních objevů v krystalografii zjištění skutečnosti, že rohy mezi krystalovými plochami stejné látky jsou neměnné. Tato stálost úhlů, jak je nyní známo, je způsobena pravidelným uspořádáním atomů nebo skupin atomů uvnitř krystalu, to znamená přítomností určité symetrie v uspořádání atomů v krystalické pevné látce.
Translační symetrie. Pojem translační symetrie krystalu znamená, že v krystalu lze zvolit určitou nejmenší část, zvanou elementární buňka, jejíž prostorové opakování je vysílání - Ve třech směrech (podél okrajů buněk) vzniká celý krystal. Koncepty translační symetrie a základní buňky krystalu byly vědeckým zobecněním experimentálního faktu, že v krystalech téže látky lze mentálně izolovat základní geometrický prvek, z něhož lze sestrojit celý krystal. Hluboký vědecký význam těchto pojmů byl odhalen později s vývojem metod pro rentgenovou strukturní analýzu pevných látek.
Základní buňka může obsahovat jednu nebo více molekul, atomů, iontů, jejichž prostorové uspořádání v buňce je pevné. Základní článek je elektricky neutrální. Pokud je opakující se základní buňka v krystalu reprezentována jako bod, pak v důsledku translačního opakování tohoto bodu ve třech směrech (ne nutně kolmých) získáme trojrozměrnou sadu bodů, nazývanou krystalová mřížka látka. V tomto případě se samotné body nazývají uzly krystalové mřížky. Krystalovou mřížku lze charakterizovat vektory základních translace a ( a 2, jak je znázorněno pro dvourozměrný případ na obr. 1.14.
Jak je vidět na Obr. 1.14 není výběr vektorů hlavních překladů jednoznačný. Hlavní věc je, že polohu všech ekvivalentních bodů krystalové mřížky lze popsat lineární kombinací vektorů hlavních translace. V tomto případě tvoří množinu všech mřížkových vektorů Bravaisova mříž krystal. Konce mřížkových vektorů definují polohu uzlových bodů v mřížce.
Rýže. 1.14. Varianty možného výběru translačních vektorů a 1 a a 2 a primitivní mřížky (volby 1,2,3,4)
Rovnoběžnostěn postavený na vektorech základních translace se nazývá primitivní krystalová buňka, jejíž výběr v krystalu je rovněž nejednoznačný. Elementární buňka 4 na Obr. Je volán 1.14, vytvořený prostřednictvím středů translačních vektorů Wignerova buňka - Seitz.
Krystalografické indexy. Jestliže v základní buňce J? Dvojrozměrné krystalové mřížky znázorněné na Obr. 1.14 nakreslete segmenty přímých čar rovnoběžných s vektorem a 2 a procházející uzly a a | 3 rozdělují vektor i na tři stejné části. Při vysílání buňky 3 podél translačních vektorů a ( a a 2 krystalová mřížka bude vyplněna přímkami a všechny uzly krystalové mřížky budou na těchto čarách. Podobnou operaci lze provést v trojrozměrné krystalové mřížce tak, že přes ni nakreslíme soustavu rovin a v tomto případě budou všechny uzly trojrozměrné krystalové mřížky v těchto rovinách. Tyto roviny se nazývají krystalografické mřížkové roviny. Je zřejmé, že skrze krystalovou mřížku lze nakreslit mnoho různých rodin krystalografických rovin. Je také zřejmé, že čím menší je vzdálenost mezi rovinami v rodině, tím nižší je hustota uzlů krystalové mřížky dopadajících na každou rovinu (publikovaná rodina rovin).
Krystalografické roviny charakterizují Millerovy indexy, značeno třemi čísly v závorkách ( hkl). Tato čísla se rovnají počtu segmentů, do kterých rodina krystalografických rovin rozděluje vektory hlavních translace. Pokud jsou roviny rovnoběžné s jakýmkoli translačním vektorem, pak je odpovídající Millerův index nula. Pokud roviny protínají záporný směr jakéhokoli translačního vektoru, pak je odpovídajícímu indexu přiřazena záporná hodnota umístěním pomlčky nad tento index. To, co bylo řečeno pro dvourozměrnou krystalovou mřížku s redukovanými rodinami rovin (10), (01) a (12), stejně jako letadlo od rodiny (12), dobře znázorněno na obr. 1.15.
Rýže. 1.15. Krystalografické roviny }
