क्रिस्टल की समरूपता
क्रिस्टल की समरूपता
घूर्णन, प्रतिबिंब, समानांतर अनुवाद, या भाग या इन कार्यों के संयोजन के दौरान क्रिस्टल की संपत्ति को स्वयं के साथ जोड़ा जाना है। समरूपता का अर्थ है किसी वस्तु को अपने साथ जोड़ने की क्षमता। बाहरी समरूपता क्रिस्टल का आकार (मुखर) इसकी परमाणु संरचना की समरूपता से निर्धारित होता है, जो भौतिक की समरूपता को भी निर्धारित करता है। क्रिस्टल गुण।
चावल। 1. ए - क्वार्ट्ज क्रिस्टल: 3 - तीसरे क्रम की समरूपता की धुरी, 2x, 2y, 2w - दूसरे क्रम की कुल्हाड़ियाँ; बी - जलीय सोडियम मेटा-सिलिकेट का क्रिस्टल: एम - समरूपता का तल।
अंजीर में। 1, एक क्वार्ट्ज क्रिस्टल दिखाता है। एक्सटेंशन इसका आकार ऐसा है कि इसे अक्ष 3 के चारों ओर 120 ° घुमाकर इसे स्वयं (संगत समानता) के साथ संरेखित किया जा सकता है। सोडियम मेटासिलिकेट क्रिस्टल (चित्र 1, 6) समरूपता m (दर्पण समानता) के तल में परावर्तन द्वारा स्वयं में परिवर्तित हो जाता है।
यदि F (xlx2.x3) एक ऐसा फलन है जो किसी वस्तु का वर्णन करता है, उदाहरण के लिए। त्रि-आयामी अंतरिक्ष या K.-L में क्रिस्टल का आकार। इसकी संपत्ति, और ऑपरेशन जी (एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3) ऑब्जेक्ट के सभी बिंदुओं के निर्देशांक को बदल देता है, फिर जी समरूपता का एक ऑपरेशन या परिवर्तन है, और एफ एक सममित वस्तु है यदि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:
सबसे सामान्य फॉर्मूलेशन में - चर के कुछ परिवर्तनों के तहत वस्तुओं और कानूनों का अपरिवर्तनीय (अपरिवर्तनीय) जो उनका वर्णन करता है। क्रिस्टल त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वस्तुएं हैं, इसलिए शास्त्रीय हैं। एस का सिद्धांत। से। - सममित का सिद्धांत। एक त्रि-आयामी अंतरिक्ष में परिवर्तन, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि आंतरिक। क्रिस्टलों की परमाणु संरचना त्रिविमीय आवर्त है, अर्थात इसे इस रूप में वर्णित किया गया है। समरूपता परिवर्तनों के दौरान, यह विकृत नहीं होता है, बल्कि एक कठोर पूरे के रूप में परिवर्तित हो जाता है। ऐसे परिवर्तन कहलाते हैं। ऑर्थोगोनल या आइसोमेट्रिक। उसके बाद, वस्तु के जो भाग एक स्थान पर थे, वे दूसरे स्थान के भागों से मेल खाते हैं। इसका अर्थ है कि सममित वस्तु में समान भाग (संगत या प्रतिबिम्बित) होते हैं।
एस। से। न केवल उनकी संरचना और गुणों में वास्तविक त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, बल्कि ऊर्जावान के विवरण में भी प्रकट होता है। क्रिस्टल के इलेक्ट्रॉनों का स्पेक्ट्रम (देखें। बैंड थ्योरी), एक्स-रे के विवर्तन की प्रक्रियाओं के विश्लेषण में। पारस्परिक स्थान में क्रिस्टल में किरणें और इलेक्ट्रॉन (रिवर्स लैटिस देखें), आदि।
क्रिस्टल का समरूपता समूह। क्रिस्टल एक नहीं, बल्कि कई हो सकते हैं। समरूपता संचालन। इस प्रकार, एक क्वार्ट्ज क्रिस्टल (छवि 1, ए) न केवल धुरी 3 (ऑपरेशन जी 1) के चारों ओर 120 डिग्री घुमाए जाने पर, बल्कि जब अक्ष 3 के चारों ओर 240 डिग्री (ऑपरेशन जी 2) घुमाया जाता है, साथ ही जब कुल्हाड़ियों 2х, 2у, 2w (संचालन g3, g4, g5) के चारों ओर 180 ° घुमाया गया। प्रत्येक को समरूपता के एक तत्व से जोड़ा जा सकता है - एक सीधी रेखा, एक विमान या एक बिंदु, जिसके सापेक्ष यह ऑपरेशन किया जाता है। उदाहरण के लिए, 3 अक्ष या 2x, 2y, 2w अक्ष सममिति अक्ष हैं, m समतल (चित्र 1.6) दर्पण सममिति तल है, आदि। सममिति संक्रियाओं का समुच्चय (g1, g2,..., Gn) ) किसी दिए गए क्रिस्टल का मैट के अर्थ में एक समरूपता समूह G बनाता है। समूह सिद्धांत। पीछा किया। दो सममिति संक्रिया करना भी सममिति संक्रिया है। सर्वदा सर्वसमिका g0 का एक संक्रिया होता है जो क्रिस्टल में कुछ भी नहीं बदलता है, कहलाता है। पहचान, ज्यामितीय रूप से किसी वस्तु की गतिहीनता या किसी भी अक्ष के चारों ओर 360 ° से उसके घूमने के अनुरूप। समूह G बनाने वाले संक्रियाओं की संख्या कहलाती है। समूह आदेश।
समरूपता समूहों को वर्गीकृत किया जाता है: अंतरिक्ष के आयामों की संख्या n द्वारा, जिसमें उन्हें परिभाषित किया जाता है; अंतरिक्ष के आयामों की संख्या एम द्वारा, जिसमें वस्तु आवधिक है (उन्हें क्रमशः जीएनएम द्वारा दर्शाया गया है), और कुछ अन्य संकेतों द्वारा। क्रिस्टल का वर्णन करने के लिए, डीकंप का उपयोग करें। समरूपता समूह, जिनमें से सबसे महत्वपूर्ण हैं। G33, क्रिस्टल की परमाणु संरचना का वर्णन करता है, और m मीटर और G30 के साथ बिंदु समूह, उनके बाहरी आकार का वर्णन करता है। अंतिम नाम क्रिस्टलोग्राफिक कक्षाएं भी।
बिंदु समरूपता समूह। बिंदु समरूपता के संचालन हैं: 360 डिग्री / एन (छवि 2, ए) के बराबर कोण द्वारा एन के क्रम के समरूपता के अक्ष के चारों ओर घूर्णन, समरूपता के विमान में प्रतिबिंब (; चित्र 2, बी), उलटा टी (एक बिंदु के बारे में समरूपता; अंजीर। 2, सी), उलटा बदल जाता है एन = (एक साथ उलटा के साथ 360 डिग्री / एन के कोण के माध्यम से रोटेशन का संयोजन; चित्र 2, डी)।
चावल। 2. सरलतम समरूपता संचालन: ए - रोटेशन; बी - प्रतिबिंब; • - उलटा; डी - चौथे क्रम का उलटा रोटेशन; डी - चौथे क्रम का पेचदार मोड़; ई - स्लाइडिंग प्रतिबिंब।
उलटा घुमावों के बजाय, दर्पण मुड़ें N = कभी-कभी माने जाते हैं। इन ऑपरेशनों के ज्यामितीय रूप से संभव संयोजन एक या दूसरे बिंदु समरूपता समूह को निर्धारित करते हैं, जिसे आमतौर पर स्टीरियोग्राफिक में दर्शाया जाता है। प्रक्षेपण। बिंदु समरूपता परिवर्तनों के दौरान, वस्तु का कम से कम एक बिंदु स्थिर रहता है - यह स्वयं में बदल जाता है। सभी समरूपताएं इसमें प्रतिच्छेद करती हैं, और यह स्टीरियोग्राफिक का केंद्र है। प्रक्षेपण। डीकंप से संबंधित क्रिस्टल के उदाहरण। अंक समूह अंजीर में दिए गए हैं। 3.
चावल। 3. विभिन्न बिंदु समूहों (क्रिस्टलोग्राफी वर्ग) से संबंधित क्रिस्टल के उदाहरण: ओ - कक्षा एम (समरूपता का एक विमान); बी - कक्षा सी (समरूपता का केंद्र); सी - कक्षा 2 तक (द्वितीय क्रम की समरूपता की एक धुरी); डी - कक्षा 6 तक (6 वें क्रम का एक उलटा-रोटरी अक्ष)।
बिंदु समरूपता परिवर्तन g (x1, x2, x3) = x "1, x" 2, x "3 रैखिक समीकरणों द्वारा वर्णित हैं:
यानी, मैट्रिक्स गुणांक, (aij) द्वारा। उदाहरण के लिए, जब x1 अक्ष को कोण a = 360 ° / N coeff पर घुमाते हैं। की तरह लगता है:
और जब x1, x2 तल में परावर्तित होता है, तो इसका रूप होता है:
गो बिंदु समूहों की संख्या अनंत है। हालांकि, क्रिस्टल में क्रिस्टल की उपस्थिति के कारण। जाली केवल संभव संचालन हैं और, तदनुसार, 6 वें क्रम तक समरूपता की कुल्हाड़ियों (5 वें को छोड़कर; क्रिस्टल जाली में 5 वें क्रम की समरूपता की कोई धुरी नहीं हो सकती है, क्योंकि पेंटागन को अंतराल के बिना नहीं भरा जा सकता है), जो निर्दिष्ट प्रतीक हैं: 1, 2, 3, 4, 6, साथ ही उलटा कुल्हाड़ियों 1 (यह समरूपता का केंद्र है), 2 (यह समरूपता का तल है), 3, 4, 6। इसलिए, की संख्या बिंदु क्रिस्टलोग्राफिक। विस्तार का वर्णन करने वाले समरूपता समूह। क्रिस्टल का आकार सीमित है, उनमें से केवल 32 हैं (तालिका देखें)। अंतरराष्ट्रीय में बिंदु समूहों के लिए संकेतन में समरूपता संचालन के प्रतीक शामिल हैं जो उन्हें उत्पन्न करते हैं। इन समूहों को यूनिट सेल आकार की समरूपता के अनुसार जोड़ा जाता है (अवधि ओ, बी, सी और कोण ए, बी, जी के साथ) 7 समानार्थी में।
केवल घुमाव वाले समूहों को केवल संगत समान भागों (पहली तरह के समूह) से मिलकर वर्णित किया गया है। प्रतिबिंब या उलटा घुमाव वाले समूह क्रिस्टल का वर्णन करते हैं जिसमें दर्पण जैसे भाग होते हैं (दूसरी तरह के समूह)। पहली तरह के समूहों द्वारा वर्णित क्रिस्टल दो एनेंटिओमोर्फिक रूपों ("दाएं" और "बाएं" में क्रिस्टलीकृत हो सकते हैं, जिनमें से प्रत्येक में दूसरी तरह की समरूपता के तत्व नहीं होते हैं), लेकिन एक दूसरे के लिए दर्पण की तरह (देखें ENANTIOMORPHISM)।
बिंदु समूह न केवल क्रिस्टल की समरूपता का वर्णन करते हैं, बल्कि किसी भी परिमित आंकड़े का वर्णन करते हैं। जीवित प्रकृति में, क्रिस्टलोग्राफी में निषिद्ध समरूपता अक्सर 5 वें, 7 वें क्रम और उच्चतर के अक्षों के साथ देखी जाती है। उदाहरण के लिए, गोलाकार की नियमित संरचना का वर्णन करने के लिए। वायरस, जिनके लिफाफे में अणुओं की सघन पैकिंग के सिद्धांत देखे गए हैं, इकोसाहेड्रल 532 महत्वपूर्ण निकला (देखें जैविक क्रिस्टल)।
समूहों को सीमित करें। निर्भरता डीकंप का वर्णन करने वाले कार्य। दिशा से क्रिस्टल के गुण, एक निश्चित बिंदु समरूपता है, जो क्रिस्टल के पहलू के समरूपता समूह के साथ विशिष्ट रूप से जुड़ा हुआ है। यह या तो इसके साथ मेल खाता है या समरूपता (न्यूमैन सिद्धांत) में इससे अधिक है।
कुछ बिंदु समरूपता समूहों से संबंधित क्रिस्टल के कई गुणों को तथाकथित क्रिस्टलोफिजिक्स द्वारा वर्णित किया गया है)।
क्रिस्टल की परमाणु संरचना की स्थानिक समरूपता को रिक्त स्थान द्वारा वर्णित किया गया है। समरूपता समूह G33 (ई.एस. फेडोरोव के सम्मान में फेडोरोव भी कहा जाता है, जिन्होंने उन्हें 1890 में पाया)। जाली की संचालन विशेषता तीन गैर-कोप्लानर ए, बी, सी, कहलाती है। अनुवाद, टू-राई क्रिस्टल की परमाणु संरचना की त्रि-आयामी आवधिकता निर्धारित करते हैं। वेक्टर ए, बी, सी या किसी वेक्टर टी = पी 1 ए + पी 2 बी + पी 3 सी के लिए संरचना का स्थानांतरण (स्थानांतरण), जहां पी 1, पी 2, पी 3 कोई सकारात्मक या नकारात्मक पूर्णांक हैं, क्रिस्टल संरचना को स्वयं के साथ जोड़ता है और इसलिए, है एक समरूपता ऑपरेशन (ट्रांसलेशनल समरूपता)।
जाली में अनुवादों के संयोजन और बिंदु समरूपता के संचालन की संभावना के कारण, G33 समूहों में अनुवाद के साथ संचालन और समरूपता के संबंधित तत्व दिखाई देते हैं। घटक - स्क्रू एक्सल dec। चराई परावर्तन के क्रम और तल (चित्र 2, ई, एफ)। कुल मिलाकर, 230 रिक्त स्थान ज्ञात हैं। समरूपता समूह G33, कोई भी क्रिस्टल इन समूहों में से एक से संबंधित है। अनुवादक। उदाहरण के लिए, माइक्रोसिमेट्री के तत्व मैक्रोस्कोपिक रूप से प्रकट नहीं होते हैं। क्रिस्टल फेसिंग में पेचदार अक्ष क्रम में एक साधारण रोटरी अक्ष के रूप में प्रकट होता है। इसलिए, 230 समूहों में से प्रत्येक G33 मैक्रोस्कोपिक रूप से 32 बिंदु समूहों में से एक के समान (होमोमोर्फिक) है। उदाहरण के लिए, 28 रिक्त स्थान समरूप रूप से बिंदु समूह mmm पर मैप किए जाते हैं। समूह। किसी दिए गए स्थान समूह में निहित अनुवादों का समूह इसका अनुवाद उपसमूह या ब्रावाइस जाली है; ऐसी 14 जाली हैं।
परतों और जंजीरों की समरूपता। 1 या 2 दिशाओं में आवधिक वस्तुओं का वर्णन करने के लिए, विशेष रूप से, क्रिस्टल संरचना के टुकड़े, समूह G32 - द्वि-आयामी आवधिक m G31 - त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक-आयामी आवधिक का उपयोग किया जा सकता है। ये समूह जीव विज्ञान के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। संरचनाएं और अणु। उदाहरण के लिए, समूह जी | बायोल की संरचना का वर्णन करें। झिल्ली, G31-श्रृंखला अणुओं के समूह (चित्र। 5, ए) रॉड के आकार के वायरस, गोलाकार प्रोटीन के ट्यूबलर क्रिस्टल (चित्र 5, बी), जिसमें उन्हें सर्पिल (पेंच) समरूपता के अनुसार रखा जाता है। G31 समूह (जैविक क्रिस्टल देखें)।
चावल। 5. सर्पिल समरूपता वाली वस्तुएं: ए - डीएनए; बी - फॉस्फोराइलेज प्रोटीन का ट्यूबलर क्रिस्टल (इलेक्ट्रॉन सूक्ष्म छवि, आवर्धन 220,000)।
सामान्यीकृत समरूपता। समरूपता की परिभाषा परिवर्तन (1, ए) के तहत समानता (1, बी) की अवधारणा पर आधारित है। हालाँकि, भौतिक रूप से (और गणितीय रूप से), एक वस्तु कुछ विशेषताओं में स्वयं के बराबर हो सकती है और दूसरों में समान नहीं हो सकती है। उदाहरण के लिए, एक एंटीफेरोमैग्नेट क्रिस्टल में नाभिक और इलेक्ट्रॉनों को साधारण रिक्त स्थान का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। समरूपता, लेकिन अगर हम इसे ध्यान में रखते हैं। क्षण (चित्र। 6), फिर सामान्य ", शास्त्रीय। समरूपता अब पर्याप्त नहीं है। समरूपता के ऐसे सामान्यीकरणों में एंटीसिमेट्री और शामिल हैं। एंटीसिमेट्री में, तीन रिक्त स्थान के अलावा। चर x1, x2, x3, एक अतिरिक्त चौथा चर x4 = ± 1 पेश किया गया है। इसकी व्याख्या इस तरह से की जा सकती है कि परिवर्तन (1, ए) के दौरान, फ़ंक्शन एफ न केवल स्वयं के बराबर हो सकता है, जैसा कि (1, बी) में है, बल्कि "समान-विरोधी" भी है - संकेत बदलें। परंपरागत रूप से, इस तरह के ऑपरेशन को रंग बदलकर दर्शाया जा सकता है (चित्र 7)।
चावल। 6. सामान्यीकृत समरूपता का उपयोग करके वर्णित फेरिमैग्नेटिक क्रिस्टल की इकाई सेल में चुंबकीय क्षणों (तीर) का वितरण।
बिंदु एंटीसिमेट्री C30 और 1651 रिक्त स्थान के 58 समूह हैं। एंटीसिमेट्री G33, a (Sh u b nik o v s k and x g r u p n)। यदि अतिरिक्त चर दो मान नहीं, बल्कि कई प्राप्त करता है। (संख्या 3, 4, 6, 8,..., 48 संभव हैं), तो बेलोव की रंग समरूपता उत्पन्न होती है। तो, 81 ज्ञात बिंदु समूह G30, c और 2942 समूह C33, c हैं। क्रिस्टलोग्राफी में सामान्यीकृत समरूपता के मुख्य अनुप्रयोग मैग्न का विवरण हैं। संरचनाएं।
चावल। 7. एक बिंदु एंटीसिमेट्री समूह द्वारा वर्णित एक आकृति।
डॉ। समरूपता के सामान्यीकरण: समानता की समरूपता, जब आकृति के कुछ हिस्सों की समानता को उनकी समानता (छवि 8), वक्रता समरूपता, सांख्यिकीय द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अव्यवस्थित क्रिस्टल, ठोस घोल, लिक्विड क्रिस्टल आदि की संरचना का वर्णन करते समय समरूपता का परिचय दिया गया।
भौतिक विश्वकोश शब्दकोश। - एम।: सोवियत विश्वकोश. मुख्य संपादकए.एम. प्रोखोरोव. 1983 .
क्रिस्टल की समरूपता
घूर्णन, परावर्तन, समानांतर अनुवाद के दौरान, या इन कार्यों के भाग या संयोजन के दौरान क्रिस्टल का स्वयं के साथ संयोजन करने का गुण। बाहरी समरूपता क्रिस्टल का आकार (मुखर) इसकी परमाणु संरचना की समरूपता से निर्धारित होता है, जो भौतिक की समरूपता को भी निर्धारित करता है। क्रिस्टल के गुण। 
चावल। 1. ए - क्वार्ट्ज क्रिस्टल; 3 - तीसरे क्रम की समरूपता की धुरी, - दूसरे क्रम की कुल्हाड़ियाँ; बी - जलीय सोडियम मेटासिलिकेट का एक क्रिस्टल; एम - समरूपता का विमान।
अंजीर में। एक एएक क्वार्ट्ज क्रिस्टल को दर्शाता है। एक्सटेंशन इसका आकार इस प्रकार है, b) समरूपता m (दर्पण समानता) के तल में परावर्तन द्वारा स्वयं में परिवर्तित हो जाता है। अगर 
- एक फ़ंक्शन जो किसी वस्तु का वर्णन करता है, जैसे। त्रि-आयामी अंतरिक्ष या K.-L में क्रिस्टल का आकार। इसकी संपत्ति, और ऑपरेशन वस्तु के सभी बिंदुओं के निर्देशांक को बदल देता है, फिर जीएक संक्रिया है, या सममिति का परिवर्तन है, और F एक सममित वस्तु है, 
नायब में। सामान्य सूत्रीकरण में, समरूपता वस्तुओं और कानूनों का अपरिवर्तनीय (अपरिवर्तनीय) है जो चर के कुछ परिवर्तनों के तहत उनका वर्णन करता है। एस से। न केवल उनकी संरचना और गुणों में वास्तविक त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, बल्कि ऊर्जावान के विवरण में भी प्रकट होता है। क्रिस्टल के इलेक्ट्रॉनों का स्पेक्ट्रम (देखें। क्षेत्र सिद्धांत),प्रक्रिया विश्लेषण में एक्स-रे विवर्तन, न्यूट्रॉन विवर्तनतथा इलेक्ट्रॉन विवर्तनक्रिस्टल में पारस्परिक स्थान का उपयोग करते हुए (देखें। पारस्परिक जाली) यह। पी।
क्रिस्टल के समरूपता समूह। क्रिस्टल में एक से अधिक, anesc हो सकते हैं। समरूपता संचालन। तो, एक क्वार्ट्ज क्रिस्टल (चित्र। 1, ए) अक्ष के चारों ओर 120 ° घुमाए जाने पर न केवल स्वयं के साथ संरेखित होता है 3 (कार्यवाही जीआई),लेकिन धुरी के चारों ओर घूमते समय 3 240 ° (ऑपरेशन .) जी 2), औरधुरी के चारों ओर 180 ° मोड़ने पर भी 2 एक्स, 2 वाई, 2 डब्ल्यू(संचालन जी 3, जी 4, जी 5सममिति के प्रत्येक संक्रिया को समरूपता के एक तत्व से जोड़ा जा सकता है - सीधी रेखा, 3 या अक्ष 2 एक्स, 2 वाई, 2 डब्ल्यूसमरूपता के अक्ष हैं, विमान टी(चित्र 1, बी) - दर्पण समरूपता के विमान द्वारा, आदि। समरूपता संचालन का सेट (जी 1, जी 2, ..., जी एन)यह क्रिस्टल चटाई के अर्थ में एक समरूपता समूह बनाता है। सिद्धांत समूह।पीछा किया। दो सममिति संक्रिया करना भी सममिति संक्रिया है। समूह सिद्धांत में, इसे संचालन के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है: हमेशा पहचान का संचालन होता है जी 0,क्रिस्टल में अपरिवर्तित कुछ भी नहीं, कहा जाता है। पहचान, यह ज्यामितीय रूप से किसी वस्तु की गतिहीनता या किसी भी अक्ष के चारों ओर 360 ° से इसके घूमने से मेल खाती है। समूह G बनाने वाली संक्रियाओं की संख्या कहलाती है समूह आदेश।
अंतरिक्ष के परिवर्तनों के समरूपता समूहों को वर्गीकृत किया जाता है: संख्या द्वारा . अंतरिक्ष की माप जिसमें उन्हें परिभाषित किया गया है; संख्या से . अंतरिक्ष की माप, जिसमें वस्तु आवधिक है (वे क्रमशः नामित हैं), और कुछ अन्य संकेतों के अनुसार। क्रिस्टल का वर्णन करने के लिए, विभिन्न समरूपता समूहों का उपयोग किया जाता है, जिनमें से सबसे महत्वपूर्ण वे हैं जो बाहरी रूप से वर्णन करते हैं। क्रिस्टल आकार; वे कहते हैं। क्रिस्टलोग्राफिक भी। कक्षाएं; अंतरिक्ष समरूपता समूह जो क्रिस्टल की परमाणु संरचना का वर्णन करते हैं।
बिंदु समरूपता समूह।बिंदु समरूपता संचालन हैं: क्रम के समरूपता अक्ष के चारों ओर घूर्णन एनके बराबर कोण से 360 डिग्री / एन(चित्र 2, ए); समरूपता के तल में प्रतिबिंब टी(दर्पण प्रतिबिंब, बी); उलटा (एक बिंदु के बारे में समरूपता, चित्र 2, सी); उलटा घुमाव (एक कोण से मोड़ का संयोजन 360 डिग्री / एन एसएक ही समय में। उलटा, अंजीर। 2, डी)। उलटा घुमावों के बजाय, समकक्ष दर्पण घुमावों को कभी-कभी माना जाता है। बिंदु समरूपता संचालन के ज्यामितीय रूप से संभव संयोजन निर्धारित करते हैं या एक अन्य बिंदु समरूपता समूह, जिसे आमतौर पर स्टीरियोग्राफिक में दर्शाया जाता है। 
चावल। 2. समरूपता संचालन के उदाहरण: ए - रोटेशन; बी - प्रतिबिंब; • - उलटा; डी - चौथे क्रम का उलटा रोटेशन; डी - चौथे क्रम का पेचदार मोड़; ई - स्लाइडिंग प्रतिबिंब।
चावल। 3. विभिन्न बिंदु समूहों (क्रिस्टलोग्राफी वर्ग) से संबंधित क्रिस्टल के उदाहरण: ए - कक्षा एम (समरूपता का एक विमान), बी - एक वर्ग (समरूपता का केंद्र या उलटा केंद्र); ए - कक्षा 2 (द्वितीय क्रम की समरूपता की एक धुरी); डी - कक्षा के लिए (6 वें क्रम का एक उलटा-रोटरी अक्ष)।
बिंदु समरूपता परिवर्तन 
रैखिक समीकरणों द्वारा वर्णित हैं 
या गुणांक मैट्रिक्स 
उदा. किसी अक्ष के चारों ओर घूमते समय एक्स 1कोण - = 360 ° / एन मैट्रिक्स डीकी तरह लगता है: 
और जब विमान में परिलक्षित होता है एक्स 1 एक्स 2 डीरूप है: 
बिंदु समूहों की संख्या अनंत है। हालांकि, क्रिस्टल में, क्रिस्टलीय की उपस्थिति के कारण। जाली केवल संचालन संभव हैं और, तदनुसार, 6 वें क्रम तक समरूपता की धुरी (5 वें को छोड़कर; क्रिस्टलीय जाली में 5 वें क्रम की समरूपता की कोई धुरी नहीं हो सकती है, क्योंकि पंचकोणीय आंकड़ों का उपयोग करना असंभव है) अंतराल के बिना अंतरिक्ष)। बिंदु समरूपता के संचालन और समरूपता के संबंधित तत्वों को प्रतीकों द्वारा नामित किया गया है: कुल्हाड़ियों 1, 2, 3, 4, 6, उलटा कुल्हाड़ियों (समरूपता का केंद्र या उलटा केंद्र), (यह समरूपता का विमान है एम), (चित्र 4)। 
चावल। 4. बिंदु समरूपता के तत्वों के ग्राफिक पदनाम: ए - सर्कल - समरूपता का केंद्र, समरूपता कुल्हाड़ियों को ड्राइंग के विमान के लंबवत, बी - अक्ष 2, ड्राइंग के विमान के समानांतर; सी - समरूपता की कुल्हाड़ियों, चित्र के तल पर समानांतर या तिरछी स्थित; जी - समरूपता का तल, चित्र के तल के लंबवत; डी - समरूपता के विमान, ड्राइंग के विमान के समानांतर।
एक बिंदु समरूपता समूह का वर्णन करने के लिए, एक या कई निर्दिष्ट करना पर्याप्त है। बी, सी और कोण) 7 प्रणालियों में (तालिका 1)।
चैप के अलावा, युक्त समूह। कुल्हाड़ियों एनसमरूपता विमान टी,इस रूप में घोषित किया गया एन / एम,मैं, के लिए एनएम,यदि अक्ष समतल में है टी।अगर समूह मदद कर सकता है अक्ष कई हैं। समरूपता विमान इसके माध्यम से गुजरते हैं, तो इसे निरूपित किया जाता है एनएम।
टैब। एक।- क्रिस्टल समरूपता के बिंदु समूह (वर्ग)
S. समूह को. एक geom ले जाएं. अर्थ: प्रत्येक ऑपरेशन मेल खाता है, उदाहरण के लिए, समरूपता की धुरी के चारों ओर घूमना, एक विमान में प्रतिबिंब। किसी दिए गए समूह में (लेकिन उनका भू-अर्थ नहीं)। ऐसे हैं, उदाहरण के लिए, समूह 4 और, टीटी2, 222. कुल मिलाकर, सी. के 32 बिंदु समूहों में से एक या अधिक के लिए 18 अमूर्त समूह आइसोमॉर्फिक हैं।
बिंदु समूह न केवल क्रिस्टल की समरूपता का वर्णन करते हैं, बल्कि किसी भी परिमित आकार के होते हैं। जीवित प्रकृति में, 5वें, 7वें क्रम और उच्चतर के अक्षों के साथ बिंदु समरूपता, क्रिस्टलोग्राफी में निषिद्ध, अक्सर देखी जाती है। गोलाकार की नियमित संरचना का वर्णन करने के लिए। वायरस, लिफाफों में अणुओं के घने पैकिंग के सिद्धांतों को देखा जाता है, और नेक-री अकार्बनिक। अणु महत्वपूर्ण आइकोसाहेड्रल पाए गए। (सेमी। जैविक क्रिस्टल)।इकोसाहेड्रल। समरूपता भी देखी जाती है क्वासिक क्रिस्टल।
समूहों को सीमित करें। एफ-टियंस, टू-राई दिशा पर क्रिस्टल के विभिन्न गुणों की निर्भरता का वर्णन करते हैं, एक निश्चित बिंदु समरूपता है, स्पष्ट रूप से क्रिस्टल के किनारे के समरूपता समूह के साथ जुड़ा हुआ है। यह या तो इसके साथ मेल खाता है या समरूपता में इससे अधिक है ( न्यूमैन सिद्धांत)।
मैक्रोस्कोपिक के संबंध में। क्रिस्टल के गुणों को एक सजातीय निरंतर माध्यम के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इसलिए, एक या दूसरे बिंदु समरूपता समूह से संबंधित क्रिस्टल के कई गुणों को तथाकथित द्वारा वर्णित किया गया है। सीमा बिंदु समूह जिसमें अनंत क्रम की समरूपता की कुल्हाड़ियाँ होती हैं, जो प्रतीक द्वारा निरूपित होती हैं। एक अक्ष की उपस्थिति का अर्थ है कि क्रिस्टल भौतिकी सहित, किसी की ओर मुड़ने पर वस्तु स्वयं के साथ संयुक्त हो जाती है)। 
चावल। 5. 32 क्रिस्टलोग्राफिक और 2 इकोसाहेड्रल समूहों के स्टीरियोग्राफिक अनुमान। समूहों को परिवारों द्वारा स्तंभों में व्यवस्थित किया जाता है, जिसके प्रतीक शीर्ष पंक्ति में दिए गए हैं। नीचे की पंक्ति प्रत्येक परिवार के सीमा समूह को दर्शाती है और सीमा समूह को दर्शाने वाले आंकड़े दिखाती है।
स्थानिक समरूपता समूह।क्रिस्टल की परमाणु संरचना की स्थानिक समरूपता का वर्णन अंतरिक्ष समरूपता समूहों द्वारा किया जाता है। वे कहते हैं। फेडोरोव को ई.एस.फ्योडोरोव के सम्मान में, जिन्होंने उन्हें 1890 में पाया; इन समूहों को स्वतंत्र रूप से उसी वर्ष ए। स्कोनफ्लाइज़ द्वारा प्राप्त किया गया था। बिंदु समूहों के विपरीत, जो क्रिस्टलीय रूपों के पैटर्न के सामान्यीकरण के रूप में प्राप्त किए गए थे। पॉलीहेड्रॉन (एसआई गेसेल, 1830, ए। क्रिस्टल की परमाणु संरचना की संचालन विशेषता 3 गैर-कोप्लानार अनुवाद हैं ए, बी , साथ , टू-राई और त्रि-आयामी आवधिकता क्रिस्टलीय सेट करें। जाली क्रिस्टलिच। जाली को तीनों आयामों में अनंत माना जाता है। ऐसी चटाई। वास्तविक, a, b, c या कोई सदिश जहाँ पी 1, पी 2, पी 3 -कोई भी पूर्णांक, Phys. विसंगति क्रिस्टलीय। पदार्थ की परमाणु संरचना में व्यक्त किया जाता है। त्रि-आयामी सजातीय असतत स्थान के अपने आप में परिवर्तन के समूह हैं। विसंगति इस तथ्य में निहित है कि ऐसे स्थान के सभी बिंदु सममित रूप से एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं, उदाहरण के लिए। एक और दूसरे प्रकार के परमाणु, नाभिक और इलेक्ट्रॉन। समरूपता और विसंगति की स्थिति इस तथ्य से निर्धारित होती है कि अंतरिक्ष समूह त्रि-आयामी आवधिक होते हैं, अर्थात, किसी भी समूह में एक अनुवाद उपसमूह होता है टी- क्रिस्टलीय। जाली
जाली में अनुवादों के संयोजन और समूहों में बिंदु समरूपता के संचालन की संभावना के कारण, बिंदु समरूपता के संचालन के अलावा, संचालन और अनुवाद के साथ समरूपता के संबंधित तत्व दिखाई देते हैं। घटक - विभिन्न आदेशों की पेचदार कुल्हाड़ियाँ और चराई परावर्तन का तल (चित्र 2, ई, एफ)।
यूनिट सेल (इकाई समानांतर चतुर्भुज) के आकार की बिंदु समरूपता के अनुसार, अंतरिक्ष समूह, जैसे बिंदु समूह, को 7 क्रिस्टलोग्राफिक में उप-विभाजित किया जाता है समानार्थी शब्द(तालिका 2)। उनका आगे का उपखंड अनुवादक से मेल खाता है। समूह और उनके संबंधित सलाखों के लिए झूठ। 14 ब्रावाइज जाली हैं, जिनमें से 7 संबंधित प्रणाली के आदिम जालक हैं, पी (रोम्बोहेड्रल को छोड़कर) आर)।अन्य 7 केंद्रित हैं। ए (चेहरा केंद्रित है बीसी), बी(किनारा एसी), सी (एबी);शरीर-केंद्रित I, मुख-केंद्रित (सभी 3 चेहरों पर) एफ।प्रसारण के संचालन के लिए केंद्र को ध्यान में रखते हुए टीकेंद्र के अनुरूप केन्द्रित स्थानान्तरण जोड़े जाते हैं टी सी.यदि आप इन कार्यों को एक दूसरे के साथ जोड़ते हैं टी+ टी के साथऔर संबंधित प्रणाली के बिंदु समूहों के संचालन के साथ, हम 73 अंतरिक्ष समूह प्राप्त करते हैं, जिन्हें कहा जाता है सममित
टैब। 2.-अंतरिक्ष समरूपता समूह
कुछ नियमों के आधार पर, गैर-तुच्छ उपसमूहों को सममित अंतरिक्ष समूहों से निकाला जा सकता है, जो 157 और गैर-सममित अंतरिक्ष समूह देता है। कुल 230 अंतरिक्ष समूह हैं। बिंदु परिवर्तन के लिए समरूपता संचालन एक्ससममित रूप से इसके बराबर (और इसलिए अपने आप में संपूर्ण स्थान) को इस रूप में लिखा जाता है:, जहाँ डी -बिंदु परिवर्तन, - एक पेचदार हस्तांतरण या स्लाइडिंग के घटक प्रतिबिंब, - संचालनअनुवादक। समूह बहादुर। पेचदार समरूपता के संचालन और समरूपता के संबंधित तत्वों - पेचदार कुल्हाड़ियों में कोण होता है। अवयव 
(एन = 2, 3, 4, 6) और ट्रांसलेशनल टी एस = टीक्यू / एन,कहाँ पे टी-जाली प्रसारण, चालू करें
W अक्ष के साथ अनुवाद के साथ-साथ होता है, क्यू -पेंच सूचकांक। पेचदार कुल्हाड़ियों के लिए सामान्य प्रतीक एन क्यू(अंजीर। 6)। पेंच कुल्हाड़ियों को Ch के साथ निर्देशित किया जाता है। एक इकाई कोशिका के अक्ष या विकर्ण। अक्ष 3 1 और 3 2, 4 1 और 4 3, 6 1 और 6 5, 6 2 और 6 4 जोड़े में दाएं और बाएं स्क्रू मोड़ के अनुरूप हैं। अंतरिक्ष समूहों में दर्पण समरूपता के संचालन के अलावा, चरागाह प्रतिबिंब विमान ए, बी, सी:प्रतिबिंब को संबंधित जाली अवधि के आधे से अनुवाद के साथ जोड़ा जाता है। कोशिका फलक का अर्ध-विकर्ण अनुवाद m से मेल खाता है। एन। स्लिप वेज एन, इसके अलावा, टेट्रागोनल और क्यूबिक में। डी। 
चावल। 6. ए - अंजीर के विमान के लंबवत पेंच कुल्हाड़ियों के ग्राफिक पदनाम; बी - अंजीर के तल में पड़ी एक पेंच धुरी; सी - चराई प्रतिबिंब के विमान, आकृति के विमान के लंबवत, जहां ए, बी, सी प्राथमिक सेल की अवधि है जिसमें कुल्हाड़ियों के साथ स्लाइडिंग होती है (अनुवादात्मक घटक ए / 2), एन का विकर्ण विमान है चराई प्रतिबिंब [अनुवादात्मक घटक (ए + बी) / 2], डी - हीरा स्लाइडिंग विमान; d - आकृति के तल में समान।
टेबल 2, सभी 230 अंतरिक्ष समूहों के अंतर्राष्ट्रीय प्रतीकों को उनके 7 प्रणालियों में से एक और बिंदु समरूपता के वर्ग के अनुसार दिया गया है।
अनुवादक। अंतरिक्ष समूहों के माइक्रोसिमेट्री के संचालन के घटक बिंदु समूहों में मैक्रोस्कोपिक रूप से प्रकट नहीं होते हैं; उदाहरण के लिए, क्रिस्टल फेसिंग में एक स्क्रू अक्ष क्रम में एक समान साधारण रोटरी अक्ष के रूप में प्रकट होता है। इसलिए, 230 समूहों में से प्रत्येक मैक्रोस्कोपिक रूप से 32 बिंदु समूहों में से एक के समान (होमोमोर्फिक) है। उदाहरण के लिए, एक बिंदु समूह पर - एमएमएम 28 अंतरिक्ष समूहों को होमोमोर्फिक रूप से मैप किया गया है।
अंतरिक्ष समूहों का स्कोनफ्लिस संकेतन संबंधित बिंदु समूह (उदाहरण के लिए, तालिका 1) का पदनाम है, जिसे ऐतिहासिक रूप से स्वीकार किया गया है, ऊपर से सौंपा गया है। अंतरराष्ट्रीय पदनामों में, ब्रावाइस जाली के प्रतीक और प्रत्येक समूह के समरूपता के निर्माण संचालन आदि का संकेत दिया जाता है। अंतरराष्ट्रीय पदनामों में तालिका 2 में अंतरिक्ष समूहों की व्यवस्था का क्रम स्कोनफ्लिस पदनामों में संख्या (सुपरस्क्रिप्ट) से मेल खाता है .
अंजीर में। 7 रिक्त स्थान की एक छवि दिखाता है। समूह - रप्टाअंतर्राष्ट्रीय क्रिस्टलोग्राफिक के अनुसार। टेबल। प्रत्येक अंतरिक्ष समूह की समरूपता के संचालन (और उनके संबंधित तत्व), 
चावल। 7. अंतर्राष्ट्रीय तालिकाओं में -आरपीटीए समूह की छवि।
यदि आप प्राथमिक सेल के अंदर सेट करते हैं K.-N. बिंदु एक्स (एक्स 1 एक्स 2 एक्स 3),तब सममिति संक्रियाएं इसे पूरे क्रिस्टल में सममित रूप से इसके बराबर बिंदुओं में बदल देती हैं। स्थान; ऐसे बिंदु अंतहीन हैं। लेकिन एक प्राथमिक सेल में उनकी स्थिति का वर्णन करने के लिए पर्याप्त है, और यह समुच्चय पहले से ही ग्रिड के अनुवादों से गुणा हो जाएगा। किसी दिए गए ऑपरेशन से काटे गए अंकों का सेट जी मैंसमूह जी - एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एन -1, बुलाया। अंक की सही प्रणाली (पीएसटी) अंजीर में। 7, दाईं ओर, समूह के समरूपता तत्वों की व्यवस्था दी गई है, बाईं ओर - इस समूह की सामान्य स्थिति में पीएसटी की छवि। सामान्य स्थिति बिंदु वे बिंदु हैं जो अंतरिक्ष समूह के बिंदु समरूपता के तत्व पर स्थित नहीं हैं। ऐसे बिंदुओं की संख्या (बहुलता) समूह के क्रम के बराबर होती है। वाई = 1/4 और 3/4। यदि कोई बिंदु किसी समतल पर गिरता है, तो वह इस तल से दोगुना नहीं होता है, जैसा कि सामान्य स्थिति में बिंदुओं के मामले में होता है। प्रत्येक अंतरिक्ष समूह के पास पीएसटी के अपने सेट होते हैं। प्रत्येक समूह के लिए सामान्य स्थिति में अंक की केवल एक सही प्रणाली है। लेकिन किसी विशेष स्थिति के कुछ पीएसटी विभिन्न समूहों के लिए समान हो सकते हैं। अंतर्राष्ट्रीय तालिकाओं में, पीएसटी की बहुलता, उनकी समरूपता और निर्देशांक, और प्रत्येक अंतरिक्ष समूह की अन्य सभी विशेषताओं को दर्शाया गया है। पीएसटी की अवधारणा का महत्व यह है कि किसी भी क्रिस्टलीय में। किसी दिए गए अंतरिक्ष समूह से संबंधित एक संरचना,
क्रिस्टल समरूपता समूहों के उपसमूह।यदि ऑपरेशन का हिस्सा K.-L. स्वयं एक समूह बनाता है जी आर (जी 1, ..., जी एम) ,,तो बाद वाला कहा जाता है। उपसमूह पहले। उदाहरण के लिए, बिंदु समूह 32 के उपसमूह (चित्र 1, ए) समूह हैं 3 और समूह 2. रिक्त स्थान के बीच में भी। समूह उपसमूहों का एक पदानुक्रम है। अंतरिक्ष समूहों में उपसमूह बिंदु समूह हो सकते हैं (217 ऐसे अंतरिक्ष समूह हैं) और उपसमूह जो निचले क्रम के अंतरिक्ष समूह हैं। तदनुसार, उपसमूहों का एक पदानुक्रम है।
क्रिस्टल के अधिकांश अंतरिक्ष समरूपता समूह आपस में और अमूर्त समूहों के रूप में भिन्न होते हैं; 230-अंतरिक्ष समूहों के लिए समरूपी अमूर्त समूहों की संख्या 219 है। 11 दर्पण-बराबर (enantiomorphic) अंतरिक्ष समूह अमूर्त रूप से समान होते हैं - एक केवल दाएं और दूसरा बाएं पेंच अक्ष के साथ। ऐसे हैं, उदाहरण के लिए, पी 3 1 21 और पी 3 2 21 इन दोनों अंतरिक्ष समूहों को समरूप रूप से बिंदु समूह 32 पर मैप किया गया है, जिससे यह संबंधित है, लेकिन क्वार्ट्ज, क्रमशः, दाएं या बाएं है: इस मामले में स्थानिक संरचना की समरूपता मैक्रोस्कोपिक रूप से व्यक्त की जाती है, क्रिस्टल स्पेस समरूपता समूहों की भूमिका।क्रिस्टल के स्थानिक समरूपता समूह - सैद्धांतिक का आधार। क्रिस्टलोग्राफी,क्रिस्टल की परमाणु संरचना का निर्धारण करने और क्रिस्टलीय का वर्णन करने के लिए विवर्तन और अन्य तरीके। एक्स-रे विवर्तन पैटर्न न्यूट्रॉन विवर्तनया इलेक्ट्रानोग्राफी,आपको सममित और geom सेट करने की अनुमति देता है। क्रिस्टल की पारस्परिक जाली, और इसलिए क्रिस्टल की संरचना। इस प्रकार क्रिस्टल और यूनिट सेल के बिंदु समूह को परिभाषित किया जाता है; विशेषता विलुप्त होने (कुछ विवर्तन प्रतिबिंबों की अनुपस्थिति) द्वारा, वे ब्रावाइस झंझरी के प्रकार और एक या किसी अन्य स्थानिक समूह से संबंधित निर्धारित करते हैं। एक इकाई सेल में परमाणुओं की व्यवस्था विवर्तन प्रतिबिंबों की तीव्रता के सेट से पाई जाती है।
अंतरिक्ष समूह एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं क्रिस्टल रसायन। 100 हजार से अधिक क्रिस्टलीय परिभाषित। संरचनाएं अकार्बनिक।, कार्बनिक। और जैविक। सम्बन्ध। 2, P4 2 सेमी, P4nc 1, Р6тп। सिद्धांत, जो अन्य अंतरिक्ष समूहों की प्रौद्योगिकी की व्यापकता की व्याख्या करता है, संरचना के घटक परमाणुओं के आकार, परमाणुओं या अणुओं की करीबी पैकिंग की अवधारणा, "पैकिंग" समरूपता तत्वों की भूमिका - स्लिप प्लेन और को ध्यान में रखता है। पेंच कुल्हाड़ियों।
सॉलिड स्टेट फिजिक्स में मैट्रिसेस और स्पेशल का इस्तेमाल करते हुए ग्रुप रिप्रेजेंटेशन के थ्योरी का इस्तेमाल किया जाता है। अंतरिक्ष समूहों के लिए ये कार्य आवधिक होते हैं। दूसरे प्रकार के संरचनात्मक चरण संक्रमण, कम सममित (कम तापमान) चरण की समरूपता का अंतरिक्ष समूह अधिक सममित चरण के अंतरिक्ष समूह का एक उपसमूह है और चरण संक्रमण के एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के साथ जुड़ा हुआ है अत्यधिक सममित चरण का अंतरिक्ष समूह। प्रतिनिधित्व सिद्धांत भी गतिकी की समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है क्रिस्टल लैटिस,उसके इलेक्ट्रॉनिक और mag. संरचनाएं, कई भौतिक। गुण। सैद्धांतिक में। अनुमानों, परतों और जालों की समरूपता।क्रिस्टलीय अनुमान संरचनात्मक विमान को तलीय समूहों द्वारा वर्णित किया गया है, उनकी संख्या 17 है। त्रि-आयामी वस्तुओं का वर्णन करने के लिए जो 1 या 2 दिशाओं में आवधिक हैं, विशेष रूप से, क्रिस्टल की संरचना के टुकड़े, समूहों का उपयोग किया जा सकता है - द्वि-आयामी आवधिक और - एक आयामी आवधिक। ये समूह जीव विज्ञान के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। जैविक संरचना का वर्णन करें। झिल्ली, -श्रृंखला अणुओं के समूह (चित्र। 8, ए),रॉड के आकार के वायरस, गोलाकार प्रोटीन के ट्यूबलर क्रिस्टल (चित्र। 8, बी),जिसमें समूहों में संभव सर्पिल (पेंच) समरूपता के अनुसार ढेर किया जाता है (देखें। जैविक क्रिस्टल)।
चावल। 8. सर्पिल समरूपता वाली वस्तुएं: ए - डीएनए अणु; बी - फॉस्फोराइलेज प्रोटीन का ट्यूबलर क्रिस्टल (इलेक्ट्रॉन सूक्ष्म छवि, आवर्धन 220,000)।
क्वासिक क्रिस्टल संरचना।quasicrystal(उदाहरण के लिए, A1 86 Mn 14) में इकोसाहेड्रल होता है। बिंदु समरूपता (चित्र 5), क्रिस्टल में किनारा असंभव है। सामान्यीकृत समरूपता।समरूपता की परिभाषा परिवर्तन (1, ए) के तहत समानता (1, बी) की अवधारणा पर आधारित है। हालाँकि, भौतिक रूप से (और गणितीय रूप से), एक वस्तु कुछ विशेषताओं में स्वयं के बराबर हो सकती है और दूसरों में समान नहीं हो सकती है। उदाहरण के लिए, एक क्रिस्टल में नाभिक और इलेक्ट्रॉनों का वितरण एंटीफेरोमैग्नेटसामान्य स्थानिक समरूपता का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, लेकिन अगर हम परिमाण के वितरण को ध्यान में रखते हैं। क्षण (चित्र। 9), फिर "सामान्य", शास्त्रीय। समरूपता अब पर्याप्त नहीं है। 
चावल। 9. सामान्यीकृत समरूपता का उपयोग करके वर्णित फेरिमैग्नेटिक क्रिस्टल के प्राथमिक सेल में चुंबकीय क्षणों (तीर) का वितरण।
एंटीसिमेट्री में, तीन स्थानिक चर के अलावा एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3एक अतिरिक्त, चौथा चर पेश किया गया है। इसकी व्याख्या इस तरह से की जा सकती है कि, परिवर्तन पर (1, ए), फ़ंक्शन एफन केवल स्वयं के बराबर हो सकता है, जैसा कि (1, बी) में है, बल्कि "समान-विरोधी" भी है - यह अपना चिन्ह बदल देगा। 58 बिंदु एंटीसिमेट्री समूह और 1651 एंटीसिमेट्री स्पेस ग्रुप (शुब्नकोव समूह) हैं।
यदि अतिरिक्त चर दो मान नहीं प्राप्त करता है, लेकिन अधिक (संभव .) 3,4,6,8, ..., 48), तो तथाकथित है। बेलोव की रंग समरूपता।
इस प्रकार 81 बिंदु समूह और 2942 समूह ज्ञात हैं। मुख्य क्रिस्टलोग्राफी में सामान्यीकृत समरूपता के अनुप्रयोग - मैग्न का विवरण। अन्य एंटीसिमेट्री समूह (एकाधिक, आदि) भी पाए गए हैं। चार-आयामी अंतरिक्ष और उच्च आयामों के सभी बिंदु और अंतरिक्ष समूह सैद्धांतिक रूप से व्युत्पन्न होते हैं। (3 + K) -आयामी अंतरिक्ष की समरूपता के विचार के आधार पर, कोई भी तीन दिशाओं में मॉड्यूलेटर का वर्णन कर सकता है। अनुचित संरचना)।
डॉ। समरूपता का सामान्यीकरण - समानता की समरूपता, जब आकृति के कुछ हिस्सों की समानता को उनकी समानता (छवि 10), वक्रता समरूपता, सांख्यिकीय द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। ठोस समाधान, लिक्विड क्रिस्टल, आदि। 
चावल। 10. समरूपता वाली एक आकृति।बड़ा विश्वकोश शब्दकोश
क्रिस्टल की परमाणु संरचना, बाहरी आकार और भौतिक गुणों की नियमितता, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि एक क्रिस्टल को घूर्णन, प्रतिबिंब, समानांतर स्थानान्तरण (अनुवाद) और अन्य समरूपता परिवर्तनों के माध्यम से स्वयं के साथ जोड़ा जा सकता है ... विश्वकोश शब्दकोश
घूर्णन, परावर्तन, समानांतर स्थानान्तरण, या इन कार्यों के एक भाग या संयोजन के माध्यम से विभिन्न स्थितियों में स्वयं के साथ संयोजन करने के लिए क्रिस्टल की संपत्ति। एक क्रिस्टल के बाहरी आकार (मुखर) की समरूपता उसके परमाणु की समरूपता से निर्धारित होती है ... ...
परमाणु संरचना की नियमितता, उदा। रूप और भौतिक। क्रिस्टल के गुण, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि एक क्रिस्टल को घूर्णन, प्रतिबिंब, समानांतर स्थानान्तरण (अनुवाद) और समरूपता के अन्य परिवर्तनों के माध्यम से स्वयं के साथ जोड़ा जा सकता है, साथ ही साथ ... ... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश
क्रिस्टल समरूपता- घूर्णन, परावर्तन, समानांतर स्थानांतरण, या इन संक्रियाओं के संयोजन द्वारा क्रिस्टलों का स्वयं के साथ संयुक्त होने का गुण। बाहरी आकार (कट) की समरूपता इसकी परमाणु संरचना की समरूपता से निर्धारित होती है, जो यह भी निर्धारित करती है ... धातुकर्म का विश्वकोश शब्दकोश
गणित में समरूपता (ग्रीक समरूपता से - आनुपातिकता), 1) समरूपता (संकीर्ण अर्थ में), या परावर्तन (दर्पण) अंतरिक्ष में विमान के सापेक्ष (एक सीधी रेखा और एक समतल पर), का एक परिवर्तन है अंतरिक्ष (विमान), जब ... ... महान सोवियत विश्वकोश
एक अणु का चरित्र, इसके संतुलन विन्यास के लिए बिंदु समरूपता के संभावित संचालन के सेट द्वारा निर्धारित किया जाता है। बिंदु समरूपता के चार संचालन (360 ° से कम या उसके बराबर एक निश्चित कोण द्वारा अक्ष के चारों ओर घूमना; एक विमान से परावर्तन; उलटा ... ... भौतिक विश्वकोश
मैं गणित में समरूपता (ग्रीक समरूपता आनुपातिकता से), 1) समरूपता (संकीर्ण अर्थ में), या परावर्तन (दर्पण) अंतरिक्ष में विमान α के सापेक्ष (एक सीधी रेखा के सापेक्ष और एक विमान पर), अंतरिक्ष का परिवर्तन। .. ... महान सोवियत विश्वकोश
- (ग्रीक से। आनुपातिकता), एक अवधारणा जो वस्तुओं के संक्रमण को स्वयं में या एक-दूसरे में एक परिभाषा का प्रयोग करते समय दर्शाती है। परिवर्तन (एस। परिवर्तन); व्यापक अर्थों में, कुछ की अपरिवर्तनीयता (अपरिवर्तनीय) की संपत्ति ... ... दार्शनिक विश्वकोश
- (ग्रीक से। सममिति आनुपातिकता) भौतिकी के नियमों का। यदि भौतिक की विशेषता वाली मात्राओं के बीच संबंध स्थापित करने वाले कानून। सिस्टम, या समय के साथ इन मूल्यों में परिवर्तन का निर्धारण, कुछ कार्यों के साथ नहीं बदलता है ... ... भौतिक विश्वकोश, ई.एस. फेडोरोव। प्रकाशन में क्रिस्टलोग्राफी पर एवग्राफ स्टेपानोविच फेडोरोव के क्लासिक काम शामिल हैं। ई.एस.फ्योडोरोव की सबसे बड़ी उपलब्धि सभी संभावित अंतरिक्ष समूहों (1891) की कठोर व्युत्पत्ति है। वह ...
क्रिस्टल की पूरी विविधता निम्नलिखित सात मुख्य क्रिस्टलोग्राफिक सिस्टम, या सिनगोनी में कम हो जाती है।
सिनगोनिया- समानता (कोणों की समानता)।
प्रथम प्रणाली :- घन
जाली नोड्स समान जाली मापदंडों के साथ एक घन बनाते हैं ए = बी = सी, और कोण a = b = g = 90⁰
चित्रा 14. घन सेल।
n-वें चालक के सभी क्रिस्टल (Si, Ge, GaAs, Cu), क्षार-गैलॉइड क्रिस्टल (LiF, NaCl, KCl) इस जाली में क्रिस्टलीकृत होते हैं।
घन जाली वाले क्रिस्टल उच्चतम श्रेणी के समरूपता के हैं। इन क्रिस्टलों में, विभिन्न दिशाओं में गुणों की अनिसोट्रॉपी कमजोर रूप से व्यक्त की जाती है। बहुत भौतिक गुणइन क्रिस्टल में आइसोट्रोपिक हैं: तापीय चालकता, विद्युत चालकता,
अपवर्तनांक सभी दिशाओं में समान होता है।
इन क्रिस्टल का बाहरी आकार, एक नियम के रूप में, आइसोमेट्रिक है, अर्थात। लगभग सभी दिशाओं में समान रूप से विकसित हुआ। क्रिस्टल में एक घन (6-चेहरे), ऑक्टाहेड्रोन (8-चेहरे) का आकार होता है। इन क्रिस्टल में, लोच और इलेक्ट्रो-ऑप्टिकल प्रभाव जैसे गुणों की अनिसोट्रॉपी अन्य श्रेणियों के क्रिस्टल की तुलना में बहुत कम विकसित होती है।
क्रिस्टलोग्राफिक श्रेणियां, सिस्टम और निर्देशांक की प्रणालियां।
सममिति के तल, सममिति के अक्ष और सममिति के केंद्र विभिन्न संयोजनों में क्रिस्टल में बनते हैं। उदाहरण के लिए: एक घन जाली (अर्धचालक और क्षार-हेलोइड क्रिस्टल) वाले क्रिस्टल में समरूपता तत्वों का एक ही सेट होता है: समरूपता के विमान एम (पी) - 9, चौथे क्रम के 3 अक्ष 4 (एल 4), 4 अक्ष तीसरा क्रम 3 (L 3), दूसरे क्रम 2 (L2) के 6 अक्ष और सममिति का एक केंद्र (C), कोई इकाई दिशा नहीं हैं।
समरूपता श्रेणियां: उनमें से तीन उच्च, मध्य और निम्न हैं। श्रेणियों में यह विभाजन क्रिस्टल की समरूपता और इकाई दिशाओं की संख्या के अनुसार होता है। एक घन या अष्टफलक की समरूपता उच्चतम श्रेणी के क्रिस्टल की विशेषता है। (घन जाली देखें)
टेट्रागोनल - समरूपता की मुख्य धुरी 4 या; ए = बी ≠ सी, ए = बी = जी = 90 डिग्री
यूनिट सेल एक वर्गाकार आधार वाला प्रिज्म है।
चित्र 15. चतुर्भुज कोशिका।
चतुर्भुज प्रणाली में केडीपी और एडीपी क्रिस्टल (कृत्रिम) शामिल हैं
(पोटेशियम डाइहाइड्रोजन फॉस्फेट और अमोनियम डाइहाइड्रोजन फॉस्फेट), सेलाइट एमजीएफ 2.
त्रिकोणीय -समरूपता की मुख्य धुरी 3 या है; ए = बी सी, ए = बी = 90 डिग्री, जी = 120 डिग्री
चित्रा 16. त्रिकोणीय सेल।
यूनिट सेल आकार 120 डिग्री . के कोण के साथ एक समचतुर्भुज आधार के साथ एक प्रिज्म है
त्रिकोणीय प्रणाली में कैल्साइट CaCO 3 (प्राकृतिक और कृत्रिम), क्वार्ट्ज (a-SiO 2), लिथियम नाइओबेट और टैंटलेट (LiNbO 3 और LiTaO 3) के क्रिस्टल शामिल हैं।
हेक्सागोनल - समरूपता की प्रमुख धुरी 6 या
ए = बी सी, ए = बी = 90 डिग्री, जी = 120 डिग्री
चित्रा 17. हेक्सागोनल सेल।
यूनिट सेल 120 ° के कोणों के साथ एक समचतुर्भुज आधार वाला एक प्रिज्म है। ऐसे तीन प्रिज्म एक हेक्साहेड्रल प्रिज्म बनाते हैं, जो अब एक आदिम, हेक्सागोनल सेल नहीं है। हेक्सागोनल प्रणाली में क्वार्ट्ज क्रिस्टल (बी-क्वार्ट्ज) शामिल हैं।
विषमकोण का- तीन अक्ष 2 और तीन तल समरूपता के मी ए बी ≠ सी, ए = बी = जी = 90 डिग्री
चित्र 18. समचतुर्भुज कोशिका।
क्रिस्टलीय सल्फर समचतुर्भुज प्रणाली से संबंधित है।
मोनोक्लिनिक- अक्ष 2 या समरूपता का समतल m, ए बी ≠ सी, ए = बी = जी = 90 डिग्री
विभिन्न तरीकों से प्राप्त क्रिस्टल की उपस्थिति, उदाहरण के लिए, पिघल या घोल से उगाए गए, एक दूसरे से स्पष्ट रूप से भिन्न हो सकते हैं। उसी समय, क्रिस्टलोग्राफी में पहली खोजों में से एक इस तथ्य की स्थापना थी कि एक ही पदार्थ के क्रिस्टल चेहरों के बीच के कोने अपरिवर्तनीय हैं। कोणों की यह स्थिरता, जैसा कि अब ज्ञात है, क्रिस्टल के अंदर परमाणुओं या परमाणुओं के समूहों की नियमित व्यवस्था के कारण है, अर्थात क्रिस्टलीय ठोस में परमाणुओं की व्यवस्था में एक निश्चित समरूपता की उपस्थिति।
अनुवाद समरूपता। क्रिस्टल की ट्रांसलेशनल समरूपता की अवधारणा का अर्थ है कि एक क्रिस्टल में एक निश्चित सबसे छोटा हिस्सा, जिसे प्राथमिक सेल कहा जाता है, को चुना जा सकता है, जिसकी स्थानिक पुनरावृत्ति है प्रसारण -तीन दिशाओं में (कोशिका के किनारों के साथ), पूरा क्रिस्टल बनता है। ट्रांसलेशनल समरूपता और क्रिस्टल की यूनिट सेल की अवधारणाएं प्रायोगिक तथ्य का वैज्ञानिक सामान्यीकरण थीं कि एक ही पदार्थ के क्रिस्टल में एक मूल ज्यामितीय तत्व को मानसिक रूप से अलग किया जा सकता है जिससे पूरे क्रिस्टल का निर्माण किया जा सकता है। ठोस पदार्थों के एक्स-रे संरचनात्मक विश्लेषण के तरीकों के विकास के साथ, इन अवधारणाओं का गहरा वैज्ञानिक अर्थ बाद में सामने आया।
एक इकाई कोशिका में एक या कई अणु, परमाणु, आयन हो सकते हैं, जिनकी स्थानिक व्यवस्था कोशिका में निश्चित होती है। यूनिट सेल विद्युत रूप से तटस्थ है। यदि एक क्रिस्टल में एक दोहराई जाने वाली इकाई सेल को एक बिंदु के रूप में दर्शाया जाता है, तो इस बिंदु के तीन दिशाओं (जरूरी नहीं कि लंबवत) में अनुवाद की पुनरावृत्ति के परिणामस्वरूप, बिंदुओं का एक त्रि-आयामी सेट प्राप्त किया जाएगा, जिसे क्रिस्टल जाली कहा जाता है। पदार्थ। इस मामले में, बिंदु स्वयं क्रिस्टल जाली के नोड कहलाते हैं। क्रिस्टल जाली को मूल अनुवादों के वैक्टर द्वारा चित्रित किया जा सकता है ए (तथा एक 2,जैसा कि अंजीर में द्वि-आयामी मामले के लिए दिखाया गया है। 1.14.
जैसा कि अंजीर में देखा गया है। 1.14, मुख्य अनुवादों के सदिशों का चुनाव असंदिग्ध नहीं है। मुख्य बात यह है कि क्रिस्टल जाली के सभी समकक्ष बिंदुओं की स्थिति को मुख्य अनुवादों के वैक्टर के रैखिक संयोजन द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इस स्थिति में, सभी जालक सदिशों का समुच्चय बनता है ब्रावाइस जालीक्रिस्टल जाली वैक्टर के सिरे जाली में नोडल बिंदुओं की स्थिति को परिभाषित करते हैं।
चावल। 1.14. अनुवाद वैक्टर की संभावित पसंद के प्रकार 1 और ए 2 और एक आदिम जाली (विकल्प 1,2,3,4)
बुनियादी अनुवादों के वैक्टर पर निर्मित एक समानांतर चतुर्भुज को एक आदिम क्रिस्टल सेल कहा जाता है, जिसकी पसंद क्रिस्टल में भी अस्पष्ट होती है। प्राथमिक सेल 4 अंजीर में। 1.14, अनुवाद सदिशों के मध्य बिन्दुओं द्वारा निर्मित, कहलाता है विग्नर सेल - सेइट्ज़
क्रिस्टलोग्राफिक सूचकांक। यदि इकाई सेल J में अंजीर में दिखाए गए द्वि-आयामी क्रिस्टल जाली का है। 1.14, सदिश के समांतर सीधी रेखाओं के खंड खींचिए एक 2और नोड्स a और | 3 से गुजरते हुए, वे वेक्टर i को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं। सेल का प्रसारण करते समय 3 अनुवाद वैक्टर के साथ ए (तथा एक 2क्रिस्टल जाली सीधी रेखाओं से भर जाएगी, और क्रिस्टल जाली के सभी नोड इन रेखाओं पर होंगे। इसके माध्यम से विमानों की एक प्रणाली खींचकर त्रि-आयामी क्रिस्टल जाली में एक समान ऑपरेशन किया जा सकता है, और इस मामले में, त्रि-आयामी क्रिस्टल जाली के सभी नोड्स इन विमानों पर होंगे। इन समतलों को क्रिस्टलोग्राफिक जालक तल कहते हैं। जाहिर है, क्रिस्टल जालक के माध्यम से क्रिस्टलोग्राफिक विमानों के कई अलग-अलग परिवारों को खींचा जा सकता है। यह भी स्पष्ट है कि परिवार में विमानों के बीच की दूरी जितनी कम होगी, प्रत्येक तल पर गिरने वाले क्रिस्टल जाली नोड्स का घनत्व उतना ही कम होगा (विमानों का प्रकाशित परिवार)।
क्रिस्टलोग्राफिक विमानों की विशेषता है मिलर सूचकांक,कोष्ठकों में संलग्न तीन संख्याओं द्वारा निरूपित किया जाता है ( एचकेएलई) ये संख्या उन खंडों की संख्या के बराबर हैं जिनमें क्रिस्टलोग्राफिक विमानों का परिवार मुख्य अनुवादों के वैक्टर को विभाजित करता है। यदि विमान किसी भी अनुवाद वेक्टर के समानांतर हैं, तो संबंधित मिलर इंडेक्स शून्य है। यदि विमान किसी भी अनुवाद वेक्टर की नकारात्मक दिशा को काटते हैं, तो संबंधित इंडेक्स को इस इंडेक्स के ऊपर डैश लगाकर एक नकारात्मक मान दिया जाता है। विमानों के कम परिवारों के साथ द्वि-आयामी क्रिस्टल जाली के लिए क्या कहा गया है (10), (01) तथा (12), साथ ही परिवार से एक विमान (12), अंजीर में अच्छी तरह से चित्रित। 1.15.
चावल। 1.15. क्रिस्टलोग्राफिक विमान }
