СИММЕТРІЯ КРИСТАЛІВ
СИММЕТРІЯ КРИСТАЛІВ
Властивість кристалів поєднуватися з собою при поворотах, відображеннях, паралельних перенесення або частини або комбінації цих операцій. Симетрія означає можливість перетворення об'єкта, що поєднує його із собою. Симетрія зовніш. форми (огранювання) кристала визначається симетрією його атомної будови, яка обумовлює також і симетрію фіз. властивостей кристала
Рис. 1. а - кристал кварцу: 3 - вісь симетрії 3-го, порядку, 2х, 2у, 2w-осі 2-го порядку; б – кристал водного мета-силікату натрію: m – площина симетрії.
На рис. 1, а зображений кристал кварцу. Зовніш. його форма така, що поворотом на 120° навколо осі 3 може бути поєднаний сам із собою (сумісне рівність). Кристал метасиликата натрію (рис. 1, 6) перетворюється на відображенням у площині симетрії m (дзеркальна рівність).
Якщо F(xlx2.x3) – функція, що описує об'єкт, напр. форму кристала в тривимірному просторі або к.-л. його властивість, а операція g(x1, х2, х3) здійснює перетворення координат усіх точок об'єкта, то є операцією або перетворенням симетрії, a F - симетричним об'єктом, якщо виконуються умови:
У найбільш загальному формулюванні - незмінність (інваріантність) об'єктів і законів при деяких перетвореннях описують їх змінних. Кристали-об'єкти в тривимірному просторі, тому класич. теорія С. к.- теорія симетрич. перетворень у собі тривимірного простору з урахуванням те, що внутр. атомна структура кристалів - тривимірно-періодична, тобто описується як . При перетвореннях симетрії не деформується, а перетворюється як тверде ціле. Такі перетворення зв. ортогональними або ізометричними. Після частини об'єкта, що знаходилися в одному місці, збігаються з частинами, що знаходяться в іншому місці. Це означає, що у симетричному об'єкті є рівні частини (сумісні чи дзеркальні).
С. к. проявляється не тільки в їх структурі та властивостях у реальному тривимірному просторі, але також і при описі енергетич. спектра електронів кристала (див. ЗОННА ТЕОРІЯ), під час аналізу процесів дифракції рентг. променів та електронів у кристалах у зворотному просторі (див. ЗВОРОТНА РЕШІТКА) тощо.
Група симетрії кристалів. Кристалу може бути притаманна не одна, а дек. операцій симетрії. Так, кристал кварцу (рис. 1 а) поєднується з собою не тільки при повороті на 120° навколо осі 3 (операція g1), але і при повороті навколо осі 3 на 240° (операція g2), а також при поворотах на 180 ° навколо осей 2х, 2у, 2w (операції g3, g4, g5). Кожний може бути зіставлений елемент симетрії - пряма, площина або точка, щодо якої проводиться дана операція. Напр., вісь 3 або осі 2х, 2у, 2w є осями симетрії, площина m (рис. 1,6) - площиною дзеркальної симетрії тощо. Сукупність операцій симетрії (g1, g2, . . ., gn) даного кристала утворює групу симетрії G у сенсі матем. теорії груп. Послідовний. Проведення двох операцій симетрії також є операцією симетрії. Завжди існує операція ідентичності g0, що нічого не змінює в кристалі, зв. ототожнення, геометрично відповідна нерухомості об'єкта або повороту його на 360° навколо будь-якої осі. Число операцій, що утворюють групу G, зв. порядком групи.
Групи симетрії класифікують: за кількістю n вимірів простору, в яких брало вони визначені; за кількістю m вимірювань простору, в яких брало об'єкт періодичний (їх відповідно позначають Gnm), і за деякими ін. ознаками. Для опису кристалів використовують разл. групи симетрії, з яких брало найважливішими є . G33, що описують атомну структуру кристалів, і точкові групи з і метрів і G30, що описують їх зовнішню форму. Останні зв. також кристалографічними класами.
Точкові групи симетрії. Операціями точкової симетрії є: повороти навколо осі симетрії порядку N на кут, що дорівнює 360°/N (рис. 2, а), відображення у площині симетрії ( ; рис. 2, б), інверсія Т (симетрія щодо точки; рис. 2 в), інверсійні повороти N = (комбінація повороту на кут 360 ° / N з одночасною інверсією; рис. 2, г).
Рис. 2. Найпростіші операції симетрії: а – поворот; б – відображення; в – інверсія; г – інверсійний поворот 4-го порядку; д - гвинтовий поворот 4-го порядку; е - ковзне відбиток.
Замість інверсійних поворотів іноді розглядають дзеркальні повороти N =. Геометрично можливі поєднання цих операцій визначають ту чи іншу точкову групу симетрії, яка зображується зазвичай в стереографіч. проекції. При перетвореннях точкової симетрії по крайнього заходу одна точка об'єкта залишається нерухомої - перетворюється в себе. У ній перетинаються всі симетрії, і вона є центром стереографічн. проекції. Приклади кристалів, що належать до разл. точкових груп, дано на рис. 3.
Рис. 3. Приклади кристалів, що належать до різних точкових груп (кристалографічних класів): про - до класу m (одна площина симетрії); б - до класу з (центр симетрії); в - до класу 2 (одна вісь симетрії 2-го порядку); г – до класу 6 (одна інверсійно-поворотна вісь 6-го порядку).
Точкові перетворення симетрії g(x1, x2, х3)=х"1, х"2, х"3 описуються лінійними ур-нями:
тобто матрицею коеф, (aij). Напр. при повороті навколо осі х1 на кут a=360°/N коеф. має вигляд:
а при відображенні у площині х1, х2 вона має вигляд:
Число точкових груп Go нескінченне. Однак у кристалах через наявність христ. ґрати можливі тільки операції і відповідно осі симетрії до 6-го порядку (крім 5-го; в крист. решітці не може бути осі симетрії 5-го порядку, т. к. за допомогою п'ятикутників не можна заповнити без проміжків), які позначаються символами: 1, 2, 3, 4, 6, а також інверсійні осі 1 (вона ж - центр симетрії), 2 (вона ж - площина симетрії), 3, 4, 6. Тому кількість точкових кристалографіч. груп симетрії, що описують зовніш. форму кристалів, обмежено, їх лише 32 (див. табл.). У міжнар. позначення точкових груп входять символи, що породжують їх операцій симетрії. Ці групи об'єднуються за симетрією форми елементарного осередку (з періодами про, b, з і кутами a, b, g) в 7 сингоній.
Групи, що містять лише повороти, описують , що складаються лише з сумісно рівних елементів (групи 1-го роду). Групи, що містять відображення або інверсійні повороти, описують кристали, в яких брало є дзеркально рівні частини (групи 2-го роду). Кристали, що описуються групами 1-го роду, можуть кристалізуватися в двох енантіоморфних формах («правої» і «лівої», кожна з яких не містить елементів симетрії 2-го роду), але дзеркально рівних один одному (див. Енантіоморфізм).
Точкові групи описують симетрію як кристалів, але будь-яких кінцевих постатей. У живій природі часто спостерігається заборонена в кристалографії симетрія з осями 5-го, 7-го порядку та вище. Напр., для опису регулярної структури сферич. вірусів, в оболонках яких дотримуються принципи щільного укладання молекул, виявилася важливою ікосаедрична 532 (див. Біологічні кристали).
Граничні групи. Функції, які описують залежність разл. властивостей кристала від напрямку, мають певну точкову симетрію, однозначно пов'язану із групою симетрії огранювання кристала. Вона або збігається з нею, або вище за неї за симетрією (Неймана принцип).
Багато властивостей кристалів, що належать до певних точкових груп симетрії, описуються т. КРИСТАЛОФІЗИКА).
Просторова симетрія атомної структури кристалів описується простором. групами симетрії G33 (з. також Федоровськими на честь що знайшов їх у 1890 Е. С. Федорова). Характерними для ґрат операціями є три некомпланарних а, b, с, зв. трансляціями, які задають тривимірну періодичність атомної структури кристалів. Зсув (перенесення) структури на вектори а, b, або будь-який вектор t=р1a+p2b+p3c, де p1,p2, p3 - будь-які цілі позитивні або негативні числа, поєднує структуру кристала з собою і, отже, є операцією симетрії ( трансляційна симетрія).
Внаслідок можливості комбінування у ґратах трансляцій та операцій точкової симетрії у групах G33 виникають операції та відповідні їм елементи симетрії з трансляцами. компонентом - гвинтові осі разл. порядків та площини ковзного відображення (рис. 2, д, е). Загалом відомо 230 просторів. груп симетрії G33, будь-який кристал відноситься до однієї з цих груп. Трансляція. елементів мікросиметрії макроскопічно не виявляються, напр. гвинтова вісь в ограновуванні кристалів проявляється як відповідна по порядку проста поворотна вісь. Тому кожна з 230 груп G33 макроскопічно схожа (гомоморфна) з однією з 32 точкових груп. Напр., на точкову групу mmm відображаються гомоморфно 28 просторів. груп. Сукупність переносів, властивих даній просторовій групі, є її трансляційна підгрупа, або Браве ґрати; таких ґрат існує 14.
Симетрія шарів та ланцюгів. Для опису періодичних об'єктів в 1 або 2 напрямках, зокрема фрагментів структури кристалів, можуть бути використані групи G32 - двовимірно періодичні m G31 - одномірно періодичні в тривимірному просторі. Ці групи відіграють важливу роль у вивченні біол. структур та молекул. наприклад, групи G | описують будову біол. мембран, групи G31 - ланцюгових молекул (рис. 5, а) паличкоподібних вірусів, трубчастих кристалів глобулярних білків (рис. 5, б), в яких брало укладені відповідно до спіральної (гвинтової) симетрії, можливої в групах G31 (див. БІОЛОГІЧНІ КРИСТАЛ ).
Рис. 5. Об'єкти зі спіральною симетрією: а – ДНК; б - трубчастий кристал білка фосфорилази (електронно-мікроскопічний знімок, збільшення 220 000).
Узагальнена симетрія. У основі визначення симетрії лежить поняття рівності (1, б) під час перетворення (1, а). Однак фізично (і математично) об'єкт може бути рівний собі за одними ознаками і не дорівнює за іншими. Напр., ядер та електронів у кристалі антиферомагнетика можна описати за допомогою звичайного простору. симетрії, але з урахуванням ним магн. моментів (рис. 6), то звичайної», класичні. симетрії вже недостатньо. До подібного роду узагальнення симетрії відносяться антисиметрія та . В антисиметрії на додаток до трьох просторів. змінним x1, х2, x3 вводиться додаткова 4-та змінна x4=±1. Це можна тлумачити в такий спосіб, що з перетворенні (1, а) ф-ция F може лише дорівнює собі, як і (1, б), а й «антирівна» - змінити знак. Умовно таку операцію можна зобразити зміною кольору (рис. 7).
Рис. 6. Розподіл магнітних моментів (стрілки) в елементарному осередку ферімагнітного кристала, що описується за допомогою узагальненої симетрії.
Існує 58 груп точкової антисиметрії C30,а та 1651 просторів. антисиметрії G33,a (Ш у б н і к о в с к і х г р у п п). Якщо додаткова змінна набуває не два значення, а дек. (можливі числа 3, 4, 6, 8, . . ., 48), виникає кольорова симетрія Бєлова. Так, відома 81 точкова група G30, ц і 2942 групи С33, ц. Основні програми узагальненої симетрії в кристалографії-опис магн. структур.
Рис. 7. Фігура, що описується точковою групою антисиметрії.
Др. узагальнення симетрії: симетрія подоби, коли рівність частин фігури замінюється їх подобою (рис. 8), криволінійна симетрія, статистич. симетрія, що вводиться при описі структури розпоряджених кристалів, твердих розчинів, рідких кристалів та ін.
Фізичний енциклопедичний словник. - М: Радянська енциклопедія. Головний редакторА. М. Прохоров. 1983 .
СИММЕТРІЯ КРИСТАЛІВ
Властивість кристалів поєднуватися з собою при поворотах, відображеннях, паралельних переносах або за частини або комбінації цих операцій. Симетрія зовніш. форми (огранювання) кристала визначається симетрією його атомної будови, яка обумовлює також і симетрію фіз. властивостей кристала. 
Рис. 1. а – кристал кварцу; 3 - вісь симетрії 3-го порядку - осі 2-го порядку; б - кристал водного метасилікату натрію; m - площина симетрії.
На рис. 1 азображений кристал кварцу. Зовніш. його форма така, б) перетворюється на себе відображенням у площині симетрії m (дзеркальне рівність). Якщо 
- Функція, що описує об'єкт, напр. форму кристала в тривимірному просторі або к.-л. його властивість, а операція здійснює перетворення координат усіх точок об'єкта, то gє операцією, або перетворенням симетрії, а F - симетричним об'єктом, 
У наиб. загальному формулюванню симетрія - незмінність (інваріантність)об'єктів і законів при нек-рих перетвореннях описують їх змінних. С. к. проявляється не тільки в їх структурі та властивостях у реальному тривимірному просторі, але також і при описі енергетич. спектра електронів кристала(див. Зонна теорія),при аналізі процесів дифракції рентгенівських променів, дифракції нейтроніві дифракції електронівв кристалах з використанням зворотного простору (див. Зворотні грати) Іт. п.
Групи симетрії кристалів. Кристалу може бути притаманна не одна, анеск. операцій симетрії. Так, кристал кварцу (рис. 1, а) поєднується з собою не тільки при повороті на 120 ° навколо осі 3 (операція gi),але при повороті навколо осі 3 на 240 ° (операція g 2),&також при поворотах на 180 ° навколо осей 2 Х, 2 у, 2 W(операції g 3 , g 4 , g 5).Кожній операції симетрії може бути зіставлений елемент симетрії - пряма, 3 або осі 2 x , 2 у, 2 wє осями симетрії, площина т(рис. 1,б) - площиною дзеркальної симетрії і т. п. Сукупність операцій симетрії (g 1, g 2, ..., g n)даного кристала утворює групу симетрії у сенсі матем. теорії груп.Послідовний. проведення двох операцій симетрії також є операцією симетрії. У теорії груп це позначають як твір операцій: Завжди існує операція ідентичності g 0нічого незмінна в кристалі, зв. ототожненням, вона геометрично відповідає нерухомості об'єкта або повороту його на 360 ° навколо будь-якої осі. Число операцій, що утворюють групу G, зв. порядком групи.
Групи симетрії перетворень простору класифікують: за кількістю . вимірювань простору, в яких брало вони визначені; за кількістю . вимірювань простору, в яких брало об'єкт періодичний (їх відповідно позначають), і за деякими ін. ознаками. Для опису кристалів використовують різні групи симетрії, з яких брало найважливішими є, що описують зовніш. форму кристалів; їх зв. також кристаллографіч. класами; просторові групи симетрії, що описують атомну структуру кристалів.
Точкові групи симетрії.Операціями точкової симетрії є: повороти навколо осі симетрії порядку Nна кут, рівний 360°/N(Рис.2, а); відображення у площині симетрії т(Дзеркальне відображення, б); інверсія (симетрія щодо точки, рис. 2, в); інверсійні повороти (комбінація повороту на кут 360°/Nодночасно. інверсією, рис.2, г). Замість інверсійних поворотів іноді розглядаються еквівалентні їм дзеркальні повороти Геометрично можливі поєднання операцій точкової симетрії визначають ту чи іншу точкову групу симетрії, яка зображується зазвичай в стереографіч. 
Рис. 2. Приклади операцій симетрії: а – поворот; б – відображення; в-інверсія; г – інверсійний поворот 4-го порядку; д - гвинтовий поворот 4-го порядку; е - ковзне відбиток.
Рис. 3. Приклади кристалів, що належать до різних точкових груп (кристалографічних класів): а - до класу m (одна площина симетрії); б - до класу (центр симетрії або центр інверсії); а - до класу 2 (одна вісь симетрії 2-го порядку); г – до класу (одна інверсійно-поворотна вісь 6-го порядку).
Точкові перетворення симетрії 
описуються лінійними ур-нями 
або матрицею коефіцієнтів 
напр., при повороті навколо осі х 1на кут -=360°/N матриця Dмає вигляд: 
а при відображенні у площині х 1 х 2 Dмає вигляд: 
Число точкових груп нескінченне. Однак у кристалах через наявність кристалліч. ґрати можливі лише операції і відповідно осі симетрії до 6-го порядку (крім 5-го; в кристаллич. решітці не може бути осі симетрії 5-го порядку, тому що за допомогою п'ятикутних фігур не можна заповнити простір без проміжків). Операції точкової симетрії та відповідні ним елементи симетрії позначаються символами: осі 1, 2, 3, 4, 6, інверсійні осі (центрсиметрії або центр інверсії), (вона ж - площина симетрії т), (рис. 4). 
Рис. 4. Графічні позначення елементів точкової симетрії: а - кружок - центр симетрії, осі симетрії, перпендикулярні площині креслення; б - вісь 2, паралельна площині креслення; в - осі симетрії, паралельні або косо розташовані до площини креслення; г - площина симетрії, перпендикулярна площині креслення; д – площини симетрії, паралельні площині креслення.
Для опису точкової групи симетрії достатньо задати одну або дек. Ь, з кутами ) в 7 сингоній (табл. 1).
Групи, що містять, крім гол. осі Nплощині симетрії т,позначаються як N/m,якщо або Nm,якщо вісь лежить у площині т.е.Якщо група допоміг. осі має дек. проходять через неї площин симетрії, вона позначається Nmm.
Табл. 1.- Точкові групи (класи) симетрії кристалів
Групи С. до. несуть у собі геом. сенс: кожної операції відповідає, напр., поворот навколо осі симетрії, відбиток у площині. у цій групі (але не їх геом. сенс), виявляються однаковими, або ізоморфними один одному. Такі, наприклад, групи 4 і , тт2, 222. Всього є 18 абстрактних груп, ізоморфних однієї або декількома з 32 точкових груп С. до.
Точкові групи описують симетрію як кристалів, але будь-яких кінцевих фігур. У живій природі часто спостерігається заборонена в кристалографії точкова симетрія з осями 5-го, 7-го порядку і вище. Для опису регулярної структури сферич. вірусів, в оболонках яких брало дотримуються принципи щільної укладання молекул, і деяких неорганічних. молекул виявилися важливими ікосаедрич. (Див. Біологічний кристал).Ікосаедрич. симетрія спостерігається також у квазікристалах.
Граничні групи. Ф-ції, які описують залежність різних властивостей кристала від напрямку, мають певну точкову симетрію, однозначно пов'язану з групою симетрії обмеження кристала. Вона або збігається з нею, або вище за неї за симетрією ( Неймана принцип).
Щодо макроскопіч. Властивостей кристал може описуватися як однорідне безперервне середовище. Тому багато властивостей кристалів, що належать до тих чи інших точкових груп симетрії, описуються т. зв. граничними точковими групами, що містять осі симетрії нескінченного порядку, що позначаються символом. 
Рис. 5. Стереографічні проекції 32 кристалографічних та 2 ікосаедричних груп. Групи розташовані в колонки за сімействами, символи яких дано у верхньому ряду. У нижньому ряду вказана гранична група кожного сімейства і зображені фігури, що ілюструють граничну групу.
Просторові групи симетрії.Просторова симетрія атомної структури кристалів описується просторовими групами симетрії. Вони зв. також Федоровськими на честь знайшов їх в 1890 Е. С. Федорова; ці групи були незалежно виведені в тому ж році А. Шенфлісом (A. Schoenflies). На противагу точковим групам, які були отримані як узагальнення закономірностей форм кристалліч. багатогранників (С. І. Гессель, 1830, А. Характерними для атомної структури кристалів операціями є 3некомпланарні трансляції а, b , з , к-рі і задають тривимірну періодичність кристалліч. ґрати. Кристалліч. грати розглядається як нескінченна у всіх трьох вимірах. Таке матем. реально, а, Ь, з або будь-який вектор де p 1 , p 2 , р 3 -будь-які цілі числа, Фіз. дискретність кристаліч. речовини виявляється у його атомному будові. - це групи перетворення у собі тривимірного однорідного дискретного простору. Дискретність у тому, що не всі точки такого простору симетрично рівні одна одній, напр. одного та атом ін. сорти, ядри електрони. Умови однорідності та дискретності визначає той факт, що просторові групи – тривимірно періодичні, тобто будь-яка група містить підгрупу трансляцій Т- Кристалліч. ґрати.
Внаслідок можливості комбінування у ґратах трансляцій та операцій точкової симетрії у групах крім операцій точкової симетрії виникають операції та відповідні їм елементи симетрії з трансляц. компонентом - гвинтові осі різнихпорядків та площини ковзного відображення (рис. 2, д, е).
Відповідно до точкової симетрії форми елементарного осередку (елементарного паралелепіпеда) просторові групи, як і точкові, поділяються на 7 кристалографічних. сингоній(Табл. 2). Подальший їхній підрозділ відповідає трансляціям. групам та відповідним їм Враве ґратами.Грати Браве 14, з них 7 - примітивні ґрати відповідних сингоній, Р (крім ромбоедричного R).Інші-7 центрирів. А (центрується грань bc),(грань ас), С(аb);об'ємноцентровані I, гранецентровані (по всіх 3 гранях) F.З урахуванням центрування до операції трансляцій tдодаються відповідні центру центруючі переноси t c.Якщо комбінувати один з одним ці операції t+ t зі з операціями точкових груп відповідної сингоній, то виходять просторові групи, зв. симморфні.
Табл. 2.-Просторові групи симетрії
На основі певних правил із симморфних просторових груп можна отримати нетривіальні підгрупи, що дає ще 157 несимморфних просторових груп. Усього просторових груп 230. Операції симетрії при перетворенні точки хв симетрично рівну їй (а отже, і всього простору в собі) записуються у вигляді: де D -точкові перетворення - компоненти гвинтового перенесення або ковзного відображення,- операціїтрансляц. гурту Браве. Операції гвинтової симетрії і відповідні елементи симетрії - гвинтові осі мають кут. компоненту 
(N = 2, 3, 4, 6) та трансляційну t s = tq/N,де t-трансляція ґрат, поворот на
відбувається одночасно з трансляцією вздовж осі Ж, q -індексгвинтового повороту. Загальний символ гвинтових осей N q(Рис.6). Гвинтові осі спрямовані вздовж гол. осей або діагоналей елементарної осередки. Осі 3 1 і 3 2 , 4 1 і 4 3 ,6 1 і 6 5 , 6 2 і 6 4 відповідають попарно правим і лівим гвинтовим поворотам. Крім операції дзеркальної симетрії в просторових групах можливі також площини ковзного відбиття, Ь, з:відображення поєднується з перенесенням на половину відповідного періоду ґрат. Перенесення на половину діагоналі грані осередку відповідають. н. клиноплощина ковзання n, крім того, в тетрагональних і кубич. d. 
Рис. 6. а - Графічні позначення гвинтових осей, перпендикулярних площині рис.; б - гвинтова вісь, що лежить у площині рис.; в - площині ковзного відображення, перпендикулярні площині рис., де а, b, с - періоди елементарного осередку, вздовж осей якого відбувається ковзання (трансляційна компонента а/2), п - діагональна площина ковзного відображення [трансляційна компонента (а + b) / 2], d - Алмазна площина ковзання; г - те саме у площині малюнка.
У табл. 2 дані міжнародні символи всіх 230 просторових груп відповідно до їх приналежності до однієї з 7 сингоній і класу точкової симетрії.
Трансляція. компоненти операцій мікросиметрії просторових групмакроскопічно в точкових групах не виявляються; напр., гвинтова вісь в ограновуванні кристалів проявляється як відповідна по порядку проста поворотна вісь. Тому кожна з 230 груп макроскопічно схожа (гомоморфна) з однією з 32 точкових груп. напр., на точкову групу - тттГомоморфно відображаються 28 просторових груп.
Позначення Шонфліса просторових груп - це позначення відповідної точкової групи (напр.,, табл. 1), до-ром зверху приписаний прийнятий історично,. У міжнародних позначеннях вказується символ ґрат Браве і що породжують операції симетрії кожної групи - і т. д. Послідовність розташування просторових груп у табл.2 у міжнародних позначеннях відповідає номеру (верхньому індексу) в позначеннях Шенфліса.
На рис. 7 дано зображення просторів. групи - Рптазгідно з Міжнародними кристаллографіч. таблиць. Операції (і відповідні їм елементи) симетрії кожної просторової групи 
Рис. 7. Зображення групи -Рпта в Міжнародних таблицях.
Якщо задати всередині елементарного осередку к.-н. точку х (x 1 x 2 x 3),то операції симетрії перетворять їх у симетрично рівні їй крапки у всьому кристаллич. просторі; таких точок нескінченне. Але досить описати їхнє положення в одному елементарному осередку, і ця сукупність вже буде розмножуватися трансляціями ґрат. Сукупність точок, що виводяться з даною операціями g iгрупи G - х 1, x 2, ..., x n-1, зв. правильною системою точок (ПСТ). На рис. 7 праворуч дано розташування елементів симетрії групи, зліва - зображення ПСТ загального стану цієї групи. Точки загального положення-це такі точки, які не розташовані на елементі точкової симетрії просторової групи. Число (кратність) таких точок дорівнює порядку групи. у = 1/4 та 3/4. Якщо ж точка потрапляє на площину, то вона цією площиною не подвоюється, як у випадку точок загального положення, Для кожної просторової групи є свої сукупності ПСТ. Правильна система точок загального стану кожної групи одна. Але деякі з ПСТ приватного становища можуть бути однаковими для різних груп. У міжнародних таблицях зазначені кратність ПСТ, їх симетрія і координати та інші характеристики кожної просторової групи. Важливість поняття ПСТ полягає в тому, що будь-який кристалліч. структурі, що належить даній просторовій групі,
Підгрупи груп симетрії кристалів.Якщо частина операції к.-л. сама утворює групу G r (g 1 ,...,g m),,то остання зв. підгрупою першою. Напр., підгрупами точкової группы32 (рис. 1, а) є група 3 та група 2. Також і серед просторів. груп існує ієрархія підгруп. Просторові групи можуть мати як підгрупи точкові групи (таких просторових груп 217) і підгрупи, які є просторовими групами нижчого порядку. Відповідно, існує ієрархія підгруп.
Більшість просторових груп симетрії кристалів різні міжсобою і як абстрактні групи; число абстрактних груп ізоморфних просторових груп дорівнює 219. Абстрактно рівними виявляються 11 дзеркально-рівних (енантіоморфних) просторових груп - одна лише з правими, інші лівими гвинтовими осями. Такі, наприклад, P 3 1 21 P 3 2 21.Обидві ці просторові групи гомоморфно відображаються на точкову группу32, до якої належить , але кварц відповідно буває правий ілевий: симетрія просторової структури в цьому випадку виражається макроскопічно, Роль просторових груп симетрії кристалів.Просторові групи симетрії кристалів-основа теоретич. кристалографії,дифракційних та інших методів визначення атомної структури кристалів та опису кристалліч. Дифракційна картина, одержувана методом рентгенографії, нейтронографіїабо електронографії,дозволяє встановити симетрійні та геом. зворотної решітки кристала, а отже і самої структури кристала. Так визначають точкову групу кристала і елементарну комірку; по характерним згасанням (відсутність певних дифракційних рефлексів) визначають тип ґрат Браве та приналежність до тієї чи іншої просторової групи. Розміщення атомів в елементарному осередку знаходять за сукупністю інтенсивностей дифракційних рефлексів.
Велику роль відіграють просторові групи в кристалохімії.Визначено понад 100 тис. кристаліч. структур неорганіч., органіч. та біологіч. з'єднань. Рсс2, P4 2 cm, P4nc 1, Р6тп. Теорія, що пояснює поширеність техніки інших просторових груп, враховує розміри складових структуру атомів, поняття щільної упаковки атомів або молекул, роль «пакувальних» елементів симетрії – площин ковзання та гвинтових осей.
У фізиці твердого тіла використовується теорія уявлень груп за допомогою матриць та спец. ф-цій, для просторових груп ці ф-ції періодичні. структурних фазових переходів 2-го роду просторова група симетрії менш симетричної (низькотемпературної) фази є підгрупою просторової групи більш симетричної фази і фазовий перехід пов'язаний з одним з ненаведених уявлень просторової групи високосиметричної фази. Теорія уявлень дозволяє вирішувати задачі динаміки кристалічної решітки,її електронної та магн. структур, низки фіз. властивостей. У теоретич. Симетрія проекцій, шарів та ланцюгів.Проекції кристаліч. Структурна площина описуються плоскими групами, їх число - 17. Для опису тривимірних об'єктів, періодичних в 1 або 2 напрямках, зокрема фрагментів структури кристалів, можуть бути використані групи - двомірно періодичні та - одномірно періодичні. Ці групи відіграють важливу роль у вивченні біологіч. описують будову біологіч. мембран, групи -ланцюгових молекул (рис. 8, а),паличкоподібних вірусів, трубчастих кристалів глобулярних білків (рис. 8, б),в яких брало покладено відповідно до спіральної (гвинтової) симетрії, можливої в групах (див. Біологічний кристал).
Рис. 8. Об'єкти зі спіральною симетрією: а – молекула ДНК; б - трубчастий кристал білка фосфорилази (електронно-мікроскопічний знімок, збільшення 220 000).
Структура квазікристалів.Квазікристалю(Напр., А1 86 Мn 14) мають ікосаедрич. точкову симетрію (рис. 5), яка неможлива в кристаллнч. Узагальнена симетрія.В основі визначення симетрії лежить понятієрівності (1,б) при перетворенні (1,а). Однак фізично (і математично) об'єкт може бути дорівнює собі за одними ознаками і не дорівнює за іншими. Напр., розподіл ядер та електронів у кристалі антиферомагнетикаможна описати за допомогою звичайної просторової симетрії, але якщо врахувати розподіл його магн. моментів (рис. 9), то «звичайний», класичні. симетрії вже недостатньо. 
Рис. 9. Розподіл магнітних моментів (стрілки) в елементарному осередку феримагнітного кристала, що описується за допомогою узагальненої симетрії.
В антисиметрії на додаток до трьох просторових змінних х 1 ,х 2, х 3вводиться додаткова, 4-а змінна. Це можна тлумачити таким чином, що при перетворенні (1,а) функція Fто, можливо як дорівнює собі, як і (1,б), а й «антирівна»- змінить знак. Існує 58 груп точкової антисиметрії та 1651 просторова група антисиметрії (шубнпківські групи).
Якщо додаткова змінна набуває не двох значень, а більше (можливі 3,4,6,8, ..., 48), то виникає т.з. кольорова симетрія Бєлова.
Так, відома 81 точкова група та 2942 групи . Осн. додатки узагальненої симетрії в кристалографії - опис магн. Знайдені та інші групи антисиметрії (кратної та інших.). Теоретично виведені всі точкові і просторові групи чотиривимірного простору і більш високих вимірювань. На основі розгляду симетрії (3+К)-мірного простору можна також описувати невідповідні у трьох напрямках модулірів. Невідповідна структура).
Др. узагальнення симетрії - симетрія подоби, коли рівність частин фігури замінюється їх подобою (рис. 10), криволінійна симетрія, статистич. твердих розчинів, рідких кристалів та ін. 
Рис. 10. Фігура, що має симетрію подоби.Великий Енциклопедичний словник
Закономірність атомної будови, зовнішньої форми та фізичних властивостей кристалів полягає в тому, що кристал може бути поєднаний із самим собою шляхом поворотів, відображень, паралельних переносів (трансляцій) та інших перетворень симетрії. Енциклопедичний словник
Властивість кристалів поєднуватися із собою у різних положеннях шляхом поворотів, відбитків, паралельних переносів чи частини чи комбінації цих операцій. Симетрія зовнішньої форми (огранювання) кристала визначається симетрією його атомного…
Закономірність атомної будови, зовніш. форми та фіз. властивостей кристалів, що полягає в тому, що кристал може бути поєднаний із самим собою шляхом поворотів, відображень, паралельних переносів (трансляцій) та ін. перетворень симетрії, а також… Природознавство. Енциклопедичний словник
Симетрія кристалів- властивість кристалів поєднуватися із собою поворотом, відображенням, паралельним перенесенням чи комбінацією цих операцій. Симетрія зовнішньої форми (огранювання) визначається симетрією його атомної будови, яка обумовлює також і … Енциклопедичний словник з металургії
Симетрія (від грец. symmetria - пропорційність) в математиці, 1) симетрія (у вузькому сенсі), або відображення (дзеркальне) щодо площини a у просторі (щодо прямої а на площині), - перетворення простору (площини), при… Велика Радянська Енциклопедія
Харка молекули, яка визначається сукупністю можливих операцій точкової симетрії для її рівноважної конфігурації. Чотири операції точкової симетрії (обертання навколо осі на деякий кут, менший або рівний 360°; відображення від площини; інверсія… … Фізична енциклопедія
I Симетрія (від грец. symmetria пропорційність) у математиці, 1) симетрія (у вузькому сенсі), або відображення (дзеркальне) щодо площини α у просторі (щодо прямої а на площині), перетворення простору… … Велика Радянська Енциклопедія
- (Від грец. Пропорційність), поняття, що характеризує перехід об'єктів у самих себе або один в одного при здійсненні над ними визна. перетворень (перетворень С.); у широкому значенні властивість незмінності (інваріантності) деяких ... Філософська енциклопедія
- (Від грец. Symmetria пропорційність) законів фізики. Якщо закони, що встановлюють співвідношення між величинами, що характеризують фіз. систему, що визначають зміну цих величин з часом, не змінюються при певних операціях. Фізична енциклопедія, Є.С. Федоров. До видання увійшли класичні роботи Євграфа Степановича Федорова з кристалографії. Найбільше досягнення Є. З. Федорова - суворий висновок всіх потенційних просторових груп (1891 рік). Тим самим…
Вся різноманітність кристалів зводиться до наступних семи основних кристалографічних систем, або сингонії.
Сингонія- подібнокутність (подібність кутів).
Перша система: - Кубічна
Вузли кристалічних грат створюють куб, у якого параметри решітки однакові a=b=c, а кути a=b=g=90⁰
Малюнок 14. Кубічний осередок.
У цьому ґратах кристалізуються все кристали n-ых провідників (Si, Ge, GaAs, Cu), лужно-галоїдні кристали (LiF, NaCl, KCl).
Кристали з кубічними ґратами відносяться до вищої категорії симетрії. У цих кристалах анізотропія властивостей у різних напрямках виражена слабо. Багато Фізичні властивостіу цих кристалах ізотропні: теплопровідність, електропровідність,
показник заломлення однакових у всіх напрямках.
Зовнішня форма цих кристалів, зазвичай, ізометрична, тобто. розвинена приблизно однакова у всіх напрямках. Кристали мають форму куба (6-гранів), октаедра (8-гранів). У цих кристалах анізотропія таких властивостей, як пружність та електрооптичний ефект розвинені набагато слабше, ніж у кристалів інших категорій.
Кристалографічні категорії, сингонії та системи координат.
Площини симетрії, осі симетрії та центри симетрії утворюються в кристалах у різних поєднаннях. Наприклад: у кристалів з кубічною решіткою (у напівпровідників і лужно-галоїдних кристалів) один і той же набір елементів симетрії: площин симетрії m (P) - 9, 3 осі четвертого порядку 4(L 4), 4 осі третього порядку 3(L 3), 6 осей другого порядку 2(L 2) та один центр симетрії (С), одиничних напрямків немає.
Категорії симетрії: їх три вища, середня та нижча Це розподіл на категорії відбувається за симетрією та числом одиничних напрямків кристала. Симетрія куба чи октаедра й у кристалів вищої категорії. (Див. Кубічну решітку)
Тетрагональна - головна вісь симетрії 4 або; a=b≠c, a=b=g=90°
Форма елементарного осередку-призму з квадратною основою.
Малюнок 15. Тетрагональний осередок.
До тетрагональної системи відносяться кристали KDP та ADP (штучні)
(дигідрофосфат калію та дигідрофосфат аммонію), селаїту MgF 2 .
Тригональна –головна вісь симетрії 3 або; a=b≠c, a = b = 90 °, g = 120 °
Рисунок 16. Тригональний осередок.
Форма елементарного осередку-призму з ромбічної підстави з кутом 120°
До тригональної системи відносяться кристали кальциту CaCO 3 (природні та штучні), кварцу (a-SiO 2), ніобату та танталату літію (LiNbO 3 та LiTaO 3).
Гексагональна - головна вісь симетрії 6 або
a=b≠c, a = b = 90 °, g = 120 °
Малюнок 17. гексагональний осередок.
Форма елементарного осередку – призма з ромбічною основою з кутами 120 °. Три такі призми складають шестигранну призму, вже не примітивну, гексагональну комірку. До гексагональної системи належать кристали кварцу (b-кварц).
Ромбічна– три осі 2 та три площини m симетрії a≠b≠c, a=b=g=90°
Рисунок 18. Ромбічний осередок.
До ромбічної системи належить кристалічна сірка.
Моноклінна- Вісь 2 або площина m симетрії, a≠b≠c, a=b=g=90°
Зовнішній вигляд кристалів, отриманих різними методами, наприклад, вирощених з розплаву або розчину, може помітно відрізнятися один від одного. У той самий час одним із перших відкриттів у кристалографії було встановлення факту, що утли між гранями кристала однієї й тієї ж речовини незмінні. Така сталість кутів, як тепер відомо, обумовлена закономірним розташуванням атомів або груп атомів усередині кристала, тобто наявністю якоїсь симетрії в розташуванні атомів у твердому кристалічному тілі.
Трансляційна симетрія. Поняття трансляційної симетрії кристала означає, що в кристалі можна вибрати деяку найменшу частину, яку називають елементарним осередком, просторовим повторенням якого - трансляцією -по трьох напрямках (вздовж граней осередку) утворюється весь кристал. Поняття трансляційної симетрії та елементарного осередку кристала стали науковим узагальненням того експериментального факту, що з кристалів однієї й тієї ж речовини можна подумки виділити базовий геометричний елемент, з якого можна сконструювати весь кристал. Глибокий науковий сенс цих понять було виявлено пізніше, з недостатнім розвитком методів рентгеноструктурного аналізу твердих тіл.
Елементарний осередок може містити одну або кілька молекул, атомів, іонів, просторове розташування яких в осередку фіксоване. Елементарний осередок електрично нейтральний. Якщо елементарну комірку, що повторюється в кристалі, представити крапкою, то в результаті трансляційного повторення цієї точки за трьома напрямками (не обов'язково перпендикулярним) вийде тривимірне безліч точок, зване кристалічною решіткою речовини. При цьому самі точки називають вузлами кристалічних ґрат. Кристалічні грати можна охарактеризувати векторами основних трансляцій а (і а 2 ,як показано для двовимірного випадку на рис. 1.14.
Як бачимо на рис. 1.14 вибір векторів основних трансляцій не є однозначним. Головне, щоб становище всіх еквівалентних точок кристалічних ґрат можна було описати лінійною комбінацією векторів основних трансляцій. При цьому сукупність всіх векторів грат утворює ґрати Бравекристала. Кінці векторів решітки визначають положення вузлових точок у ґратах.
Рис. 1.14. Варіанти можливого вибору векторів трансляцій а 1 і а 2 та примітивних грат (варіанти 1,2,3,4)
Паралелепіпед, побудований на векторах основних трансляцій, називають примітивним осередком кристала, вибір якої в кристалі також неоднозначний. Елементарний осередок 4 на рис. 1.14, побудовану через середини векторів трансляцій, називають осередком Вігнера - Зейтця.
Кристалографічні індекси. Якщо елементарному осередку J?двовимірної кристалічної решітки, показаної на рис. 1.14 провести відрізки прямих ліній, паралельні вектору а 2і проходять через вузли і |3, всі вони розділять вектор я, втричі частини. При трансляції осередку 3 вздовж векторів трансляцій а (і а 2кристалічна решітка заповниться прямими лініями, причому всі вузли кристалічної решітки виявляться цих лініях. Аналогічну операцію можна здійснити і в тривимірних кристалічних ґратах, провівши через неї систему площин, причому і в цьому випадку всі вузли тривимірної кристалічної решітки виявляться на цих площинах. Зазначені площини звуться кристалографічних площин решітки. Очевидно, що через кристалічну решітку можна провести безліч різних сімейств кристалографічних площин. Очевидно також, що чим менша відстань між площинами в сімействі, тим менша щільність вузлів кристалічних решітки, що потрапляють на кожну площину (виданого сімейства площин).
Кристалографічні площини характеризують індексами Міллера,позначається трьома числами, укладеними в круглі дужки ( hkl). Ці числа рівні кількості відрізків, куди сімейство кристалографічних площин ділять вектори основних трансляцій. Якщо площини паралельні до будь-якого вектора трансляції, то значення відповідного індексу Міллера дорівнює нулю. Якщо площини перетинають негативний напрямок будь-якого вектора трансляції, то відповідного індексу надають негативне значення, ставлячи рису над цим індексом. Сказане для двовимірних кристалічних ґрат, з наведеними сімействами площин. (10), (01) і (12), а також площиною із сімейства (12), добре проілюстровано на рис. 1.15.
Рис. 1.15. Кристалографічні площини }
